チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。

標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の テンプレート:Mvar 倍以上離れた値は全体の テンプレート:Math 以下である。

歴史

この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméであるテンプレート:Rp。

この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明され、後の1867年にチェビシェフによってより一般的な形で証明された。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えた。

一般的表現

この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。

測度論的表現

テンプレート:Math を測度空間、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 テンプレート:Math2 に対して

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\ge t\})\le \frac{1}{t^2}\underset{X}{\int }{f}^{2}d\mu$

となる。より一般的には、テンプレート:Mvar が非負実数値可測関数で、テンプレート:Mvar の値域の範囲で減少しないとすれば、 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$と定義し

$\mu (\{x\in X:f(x)\ge t\})\le \frac{1}{g(t)}\underset{X}{\int }g\circ fd\mu$

となる。最初の式は、ここで テンプレート:Math を

$g(t)=\{\begin{array}{cc}{t}^2& \text{if}t\ge 0\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

で定義し、テンプレート:Mvar の代わりに テンプレート:Math を用いれば導かれる。

確率論的表現

テンプレート:Mvar を、期待値が テンプレート:Mvar, 有限の分散が テンプレート:Math である確率変数とすると、任意の実数 テンプレート:Math に対して

$\mathrm{Pr}(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$

ただし テンプレート:Math の場合にだけ意味がある。

余事象について、こうなる。

$\mathrm{Pr}(|X-\mu |<k\sigma )>1-\frac{1}{k^2}$

例として、テンプレート:Math を使えば、少なくとも半数の値は区間 テンプレート:Math   テンプレート:Math 内に存在することが分かる。

チェビシェフの不等式は大数の法則（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。

例

分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 (テンプレート:Math) が 1000 文字であって、標準偏差 (テンプレート:Math) が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。

• 長さが 717 から 1282 文字の文章の割合は少なくとも 50% である（テンプレート:Math の場合）。
• 長さが 600 から 1400 文字の文章の割合は少なくとも 75% である（テンプレート:Math の場合）。
• 長さが 400 から 1600 文字の文章の割合は少なくとも 88% である（テンプレート:Math の場合）。
• 長さが 200 から 1800 文字の文章の割合は少なくとも 93% である（テンプレート:Math の場合）。
• 長さが 2000 文字以下の文章の割合は少なくとも 96% である（テンプレート:Math の場合）。

もし文章の長さが正規分布に従っているなら、次がいえる。

• 長さが 770 から 1230 文字の文章 テンプレート:Math   テンプレート:Math の割合は 75% である。
• 長さが 717 から 1282 文字の文章 テンプレート:Math   テンプレート:Math の割合は 84% である。
• 長さが 600 から 1400 文字の文章 テンプレート:Math   テンプレート:Math の割合は 95% である。

証明

測度論的な証明

テンプレート:Mvar を テンプレート:Math} で定義すると

$0\le g(t)\le g(f(x))=g\circ f(x)$

がすべての$x\in A_t$に対して成り立つことより、

$g(t)\mu (A_t)=\underset{A_t}{\int }g(t)d\mu \le \underset{A_t}{\int }g\circ fd\mu \le \underset{X}{\int }g\circ fd\mu$

となる。上の不等式を テンプレート:Math で割れば、目的の不等式が得られる。

確率論的な証明

任意の実数確率変数 テンプレート:Mvar と任意の正の実数 テンプレート:Mvar に対して、マルコフの不等式から テンプレート:Math2 が得られる。この不等式に テンプレート:Math2, テンプレート:Math2 を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。

また直接証明する方法もある。事象 テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の指示関数に従う確率変数である（つまり テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar が起これば テンプレート:Math、そうでなければ テンプレート:Math）とする。すると

$\begin{array}{c}\mathrm{Pr}(|X-\mu |\ge k\sigma )=\mathrm{E}(I_{|X-\mu |\ge k\sigma })=\mathrm{E}(I_{[(X-\mu )/(k\sigma ){]}^2\ge 1})\\ \le \mathrm{E}\left({\left(\frac{X-\mu }{k\sigma }\right)}^2\right)=\frac{1}{k^2}\frac{\mathrm{E}((X-\mu {)}^2)}{{\sigma }^2}=\frac{1}{k^2}\end{array}$

と証明される。

関連項目

• マルコフの不等式