テオドロスの螺旋のソースを表示


[[ファイル:Spiral_of_Theodorus.svg|右|サムネイル|400x400ピクセル|[[斜辺]]が<math>\sqrt{17}</math>である直角三角形までのテオドロスの螺旋]]
'''テオドロスの螺旋'''（テオドロスのらせん、{{Lang-en-short|spiral of Theodorus,square root spiral, Pythagorean spiral, Pythagoras's snail}}）は、 [[キュレネのテオドロス]]の名を冠する、高さが1、底辺が前の[[直角三角形]]である直角三角形の[[渦巻]]である{{R|KAHN2}}。

== 構築 ==
テオドロスの螺旋は、[[底辺]]と[[高さ]]が1である[[直角二等辺三角形]]から始まる。次の三角形を、底辺が前の直角三角形の斜辺（長さは[[2の平方根|2の正の平方根]]）、高さが1である、先の直角三角形の外側にある直角三角形とする。 

さらに次の三角形を、底辺が先の直角三角形の斜辺（長さは[[3の平方根|3の正の平方根]]）、高さが1である、先の直角三角形の斜辺と高さの間の点を[[直角]]とし、外側にある直角三角形とする。 

以後、一般に<math>n-1</math>回目の直角三角形の外側に、その三角形の長さ<math>\sqrt{n}</math>の斜辺を底辺、斜辺と高さの間の点を直角とする、高さ1の直角三角形を作り続ける。この連なりをテオドロスの螺旋と言う。例えば16回目の直角三角形は底辺は<math>\sqrt{16}=4</math>、高さは1、斜辺は<math>\sqrt{17}</math>である。 

== 歴史 ==
テオドロスの功績は失われたが、[[プラトン]]の作品である[[テアイテトス (対話篇)|テアイテトス]]の回想部で彼の功績が伝えられた。テオドロスは、テオドロスの螺旋を用いて[[平方数]]でない3から17の数の[[平方根]]は[[無理数]]であることを示したと言われている{{R|nahin}}。

テオドロスが2の平方根の証明に関与していないことはよく知られていたため、プラトンもそれをテオドロスに帰さなかった。テオドロスと[[テアイテトス (数学者)|テアイテトス]]は、異なる方法で有理数と無理数を分別した{{R|plato}}。

== 斜辺 ==
<math>n</math>個目の三角形の斜辺を<math>h_n</math>とすると、<math>h_n</math>は[[自然数]]<math>n</math>の正の平方根となる。

テオドロスに教えられたプラトンは、なぜテオドロスは<math>\sqrt{17}</math>で止めてしまったのか疑問に思った。一般に、その理由は<math>\sqrt{17}</math>は直角三角形が重ならない最後の三角形の斜辺であったからであると考えられている{{R|LONG}}。

=== 三角形の重なり ===
1958年、カレブ・ウィリアムズ（Kaleb Williams）は、テオドロスの螺旋のどの斜辺も重ならないことを示した。また、長さ1の辺の延長は、ほかのどの頂点も通らないことも証明した{{R|LONG|teuffel}}。 

== 拡張 ==
テオドロスは螺旋を斜辺が<math>\sqrt{17}</math>になるところで止めてしまったが、螺旋を無限に続けることができる。

=== 成長率 ===

==== 角 ====
<math>\varphi_k</math>を<math>k</math>番目の三角形の螺旋の中心がある頂点の角として<math display="block">\tan\left(\varphi_k\right)=\frac{1}{\sqrt{k}}.</math>である。したがって、<math>\varphi_k</math>は次の式で表せる{{R|KAHN2}}。<math display="block">\varphi_k=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right).</math>最初の直角三角形の底辺と、<math>n</math>番目の三角形の斜辺の成す角<math>\varphi(n)</math>は、1から<math>n</math>までの<math>\varphi_k</math>の和である。これは[[有界関数]]<math>c_2</math>を用いて次の様に表せる{{R|KAHN2}}。<math display="block">\varphi\left (n\right)=\sum_{k=1}^n\varphi_k=\sum_{k=1}^n\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)= 2\sqrt{n}+c_2(n)</math>ただし<math display="block">\lim_{k \to \infty} c_2(k)= - 2.157782996659\ldots</math>({{OEIS|A105459}})[[ファイル:Spiral_of_Theodorus_triangle.svg|サムネイル|螺旋の一部]]

==== 半径 ====
螺旋の半径の成長は任意の<math>n</math>について次の式で表せる。<math display="block">\Delta r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.</math>

=== アルキメデスの螺旋 ===
テオドロスの螺旋は[[アルキメデスの螺旋]]によって[[近似]]できる{{R|KAHN2}}。アルキメデスの螺旋の2つの渦の距離は[[数学定数]]である[[円周率]]<math>\pi</math>に近づいていくように、テオドロスの螺旋の2つの渦巻きの距離は無限に近づくにつれて、急速に<math>\pi</math>に近づく{{R|hahn}}。
{| class="wikitable"
!渦の数
! width="200px" |渦の距離の平均
! width="200px" |渦の距離の平均とπの近似精度
|-
|2
|3.1592037
|99.44255%
|-
|3
|3.1443455
|99.91245%
|-
|4
|3.14428
|99.91453%
|-
|5
|3.142395
|99.97447%
|-
|<math>\to\infty</math>
|<math>\to\pi</math>
|<math>\to 100\%</math>
|}
5回目の渦でさえ、その近似率は99.97%である{{R|KAHN2}}。

== 連続的な曲線 ==
[[ファイル:Theodorus_Wiki.svg|右|サムネイル|402x402ピクセル|[[フィリップ・J・デイヴィス]]のによるテオドロスの螺旋を解析的につなげたもの。数字は整数である原点との距離。青は反対方向に螺旋を拡張したもの。 ]]
[[離散]]的なテオドロスの螺旋をどのように[[内挿]]して滑らかな曲線にするかという問題は2001年に[[フィリップ・J・デイヴィス]]によって提案、解決された。[[階乗]]を[[ガンマ関数]]に内挿するのに[[オイラーの公式]]を用いることを類推して、デイヴィスは次の式を用いた{{Sfnp|Davis|2001|pp=37–38}}。<math display="block">\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}:T(x)=\prod_{k=1}^\infty \frac{1+\frac{i}{\sqrt{k}}}{1+\frac{i}{\sqrt{x+k}}}\qquad (-1<x<\infty)</math><math>T(x)</math>は[[実数]]<math>x</math>において、螺旋の[[複素平面]]上の[[座標]]を表す。{{仮リンク|ジェフリー・J・リーダー|en|Jeffery J. Leader}}と{{仮リンク|Arieh Iserles|en|Arieh Iserles}}はさらにこの関数を研究した。次の[[関数方程式]]の解は一意的に<math>T(x)</math>のみに定まる。<math display="block">f(x+1) = \left( 1 + \frac{i}{\sqrt{x+1} }\right) \cdot f(x),</math>初期条件は<math>f(0) = 1</math>かつ、[[複素数の偏角|偏角]]と[[絶対値]]において、[[単調写像|単調増加]]であることである<ref>{{Harvtxt|Gronau|2004}}. </ref>。

解析的なデイヴィスの連続化は原点から反対方向の螺旋へと拡張できる{{Sfnp|Waldvogel|2009}}。

図に、元の離散的なテオドロスの螺旋の節を緑の円で示してある。青い円は螺旋を反対方向に繋げたもので、整数の範囲で<math>n</math>番目の点の極半径が<math>r_n=\pm\sqrt{|n|}</math>となっている。破線の円は原点<math>O</math>における[[曲率]]円である。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|フェルマーの螺旋|en|Fermat's spiral}}
* {{仮リンク|螺旋の一覧|en|List of spirals}}

== 出典 ==
{{Reflist|refs=<ref name=hahn>
{{citation
 |last=Hahn |first=Harry K.
 |year=2008
 |title=The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the square root spiral
 |arxiv=0801.4422}}</ref>

<ref name=KAHN2>{{citation
 |last=Hahn
 |first=Harry K.
 |title=The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral
 |year=2007
 |arxiv=0712.2184}}</ref>

<ref name=LONG>
{{citation
 |last=Long
 |first=Kate
 |title=A Lesson on The Root Spiral
 |url=http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html
 |access-date=30 April 2008
|archive-url=https://web.archive.org/web/20130411230043/http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html
 |archive-date=11 April 2013}}</ref>

<ref name=nahin>{{citation
 |last=Nahin
 |first=Paul J.
 |title=An Imaginary Tale: The Story of <math>\sqrt{-1}</math>
 |publisher=Princeton University Press
 |page=33
 |isbn=0-691-02795-1 
 |year=1998}}</ref>

<ref name=plato>{{citation
 |last1=Plato
 |last2=Dyde
 |first2=Samuel Walters
 |title=The Theaetetus of Plato
 |publisher=J. Maclehose
 |pages=86–87
 |url=https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC
 |year=1899}}</ref>

<ref name=teuffel>{{citation
 | last = Teuffel | first = Erich
 | journal = Mathematisch-Physikalische Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität
 | mr = 96160
 | pages = 148–152
 | title = Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke
 | volume = 6
 | year = 1958}}</ref>}}

== 参考文献 ==

* {{Citation|title=Spirals from Theodorus to Chaos|last=Davis|first=P. J.|author-link=Philip J. Davis|year=2001|publisher=A K Peters/CRC Press}}
* {{Citation|title=The Spiral of Theodorus|last=Gronau|first=Detlef|date=March 2004|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=111|issue=3|pages=230–237|doi=10.2307/4145130|jstor=4145130}}
* {{Citation|title=Functional Equations and Inequalities|last=Heuvers|first=J.|last2=Moak|first2=D. S.|last3=Boursaw|first3=B|year=2000|editor=T. M. Rassias|pages=111–117|chapter=The functional equation of the square root spiral}}
* {{Citation|title=Analytic Continuation of the Theodorus Spiral|last=Waldvogel|first=Jörg|year=2009|url=http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf}}
{{デフォルトソート:ておとろすのらせん}}
[[Category:円周率]]
[[Category:ピタゴラスの定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]