テボーの定理のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024年6月}}[[ファイル:Thebault_1_2_3.svg|サムネイル|テボーの問題]]
'''テボーの定理'''（テボーのていり、<!-- 同名の人物である山口瑠伊選手及びその出典のThebaultの和訳を流用した。 -->{{Lang-en-short|Thébault's theorem}}、{{Lang-fr-short|Théorème de Thébault}}）は、[[フランス]]の[[数学者]]、[[ヴィクトル・テボー]]が提唱したいくつかの[[幾何学]]の問題の総称である<ref>{{Cite web |title=Thébault's Theorem |url=https://mathworld.wolfram.com/ThebaultsTheorem.html |website=[[MathWorld]] |access-date=2024-07-15 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。それぞれは、テボーの問題I, II, IIIとして知られている。

== テボーの問題 I ==
ある[[平行四辺形]]の4辺の外側に[[正方形]]を作る。このとき、4つの正方形の中心は正方形を作る（'''デポールの定理'''、'''テボールの定理'''とも呼ばれる<ref>{{Cite book|和書 |title=重心座標による幾何学 |date=9/12 |year=2014 |publisher=[[現代数学社]] |page=81 |author=[[一松信]],[[畔柳和生]]}}</ref>）。

これは[[ヴァン・オーベルの定理]]の特別な場合である<ref>{{Cite web |title=Thébault's Problem I |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Thebault1.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-05-18}}</ref>。またヴァン・オーベルの定理は、[[ペトル=ダグラス=ノイマンの定理|ペトル＝ダグラス＝ノイマンの定理]]の系でもある。
[[ファイル:Thebault_problem_I_tiling_pattern.png|サムネイル|テボーの問題Iをもとにしてつくられたタイルのパターン]]

== テボーの問題 II ==
ある正方形の隣り合う二辺に[[正三角形]]を作る。ただし、双方ともに、外側または内側にあるとする。このとき、2つの正三角形の[[頂点]]でない正方形の頂点と、正方形の頂点でない二つの正三角形の頂点が成す三角形は正三角形である<ref>{{Cite web |title=Thébault's Problem II |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Thebault2.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-05-18}}</ref>。

== テボーの問題 III ==
ある[[三角形]]{{Mvar|ABC}}と、{{Mvar|BC}}上の点{{Mvar|M}}について、{{Mvar|BC,AM}}と三角形{{Mvar|ABC}}の[[外接円]]に[[接線|接]]する（[[内接図形|内接]]する）[[円 (数学)|円]]を{{Mvar|AM}}の両側にそれぞれ作る。 2つの円の中心{{Mvar|P,Q}}と三角形{{Mvar|ABC}}の[[内心]]{{Mvar|I}}は[[共線]]である<ref>{{Cite book|洋書 |title=Geometry by Its History |publisher=Heidelberg ; New York : Springer |author=Alexander Ostermann, Gerhard Wanner |year=2012 |pages=226-230 |url=https://archive.org/details/geometrybyitshis0000oste}}</ref><ref>{{Cite web |title=Thébault's Problem III |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Thebault3.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-05-18}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Shail|first=R.|date=2001|title=A Proof of Thébault's Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/2695238|journal=The American Mathematical Monthly|volume=108|issue=4|pages=319–325|doi=10.2307/2695238|issn=0002-9890}}</ref><ref>{{Cite journal|journal=Elem. Math.|author=Darko Veljan|year=2008|title=Thebault’s theorem|volume=63|last2=Volenec|first2=Vladimir|url=https://ems.press/content/serial-article-files/45334?nt=1}}</ref>。'''澤山-テボーの定理'''（Sawayama-Thébault theorem,Sawayama and Thébault's theorem）とも呼ばれている<ref name=":2">{{Cite journal|author=Dao Thanh Oai,Cao Mai Doai, Quang Trung, Kien Xuong, Thai Binh, Vietnam|year=2016|title=A Generalization of the Sawayama and Th´ebault’s  Theorem|url=https://www.journal-1.eu/2016-3/Dao-Thanh-Oai-Sawayama-Thebault-pp.33-35.pdf|journal=International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM)|volume=Volume 1|pages=33-35}}</ref><ref group="註"> テボー-テイラーの定理とも。（参照: {{Cite journal|journal=数理解析研究所講究録|author=森継修一|year=2009|title=グレブナー基底による幾何定理の証明について イデアル成分の分解の利用|volume=1652|last2=千里|first2=荒井|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1652-22.pdf}}）</ref>。また、円{{Mvar|P,Q}}は'''曲線内接円'''（curvilinear incircle）と呼ばれる<ref>{{Cite book|和書 |title=数学オリンピック幾何への挑戦、ユークリッド幾何をめぐる船旅 |date=2/15 |year=2023 |publisher=[[日本評論社]] |pages=96-97 |author=[[エヴァン・チェン]]}}</ref>。

2003年まで、学会はテボーの問題 IIIの[[証明]]はこれらの問題の中で最も難しいと考えていた。テボーの問題 IIIは1938年、{{仮リンク|American Mathematical Monthly|en|American Mathematical Monthly}}で紹介され、1973年に、[[オランダ]]の数学者H・ストリーフカーク（H. Streefkerk）によって証明された<ref>{{Cite journal|author=Zvonko Cerin|year=2011|title=On Thebault’s Problem 3887|url=https://heldermann-verlag.de/jgg/jgg15/j15h2ceri.pdf|journal=Journal for Geometry and Graphics|volume=Volume 15|pages=113-127}}</ref>。しかし[[東京]]の[[陸軍幼年学校 (日本)|陸軍中央幼年学校]]の教官であった[[大日本帝国陸軍|陸軍]][[教授]]<ref>[{{NDLDC|2948743/4}} 『官報』第5444号]、明治34年8月24日。</ref>[[澤山勇三郞]]が1905年に独自に証明を与えていたことが、2003年、[[ジャン＝ルイ・エーメ]]（Jean-Louis Ayme）によって発見された<ref name=":0">{{Citation|title=Sawayama and Thébault's theorem|last=Ayme|first=Jean-Louis|year=2003|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200325.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=3|pages=225–229|mr=2055379}}</ref><ref>{{Cite book |title=A New Geometrical Proposition |url=http://archive.org/details/jstor-2967716 |publisher=The American Mathematical Monthly |date=1905-12-01 |others=JSTOR |first=Y. |last=Sawayama}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=沢山勇三郎全集 |year=1938 |publisher=[[岩波書店]] |author=[[森本清吾]] |doi=10.11501/1239383}}</ref>。

テボーの問題 IIIの円を傍接に置き換えたもの、つまり内心を[[傍心]]に、2つの円を外接円に[[接する|外接]]するように置き換えたものは、2002年、Shay Gueronによって発見され、 [[ケイシーの定理]]を用いて証明された <ref name=":1">{{Cite journal|last=Gueron|first=Shay|date=April 2002|title=Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem|url=http://geometry.ru/articles/Two_Casey.pdf|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=4|pages=362–370|doi=10.2307/2695499|JSTOR=2695499}}</ref>。澤山-テボーの定理は以下のようにも言い換えることができる<ref name=":1" /><ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200223.pdf |title=AnApplication of Th´ ebault’s Theorem |access-date=2024/5/23 |publisher=Forum Geometricorum |author=Wilfred Reyes}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~oshima/lecture/sangaku0.pdf |title=Japanese Theoremについて |access-date=2024-11-25 |publisher=[[城西大学]] 数理・データサイエンスセンター |author=大島利雄}}</ref>。

{{Math theorem|定理|2=∠{{Mvar|AMB}}={{Mvar|θ}}、{{Mvar|AM,BC}}と△{{Mvar|ABC}}の外接円に内接する{{Mvar|B,C}}側の円の中心をそれぞれ{{Mvar|P,Q}}、内心を{{Mvar|I}}とすると以下の式が成り立つ。
:<math>
\frac{PI}{IQ}=\tan^2\frac{\theta}{2}.
</math>}}

=== ジャン=ルイ・エーメによる証明 ===

==== 補題（澤山の補題） ====
[[ファイル:Proof of lemma of Thebault's theorem.png|サムネイル|427x427ピクセル|澤山の補題、{{Mvar|J}}が{{Mvar|I}}と一致することを示している。]]
・円{{Mvar|Q}}と{{Mvar|BC,AM}}の[[接点 (数学)|接点]]を{{Mvar|E,F}}とする。{{Mvar|E,F,I}}は共線である<ref name=":0" /><ref>{{Cite web |title=Y. Sawayama's Lemma |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/JLAyme.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-05-20}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201312.pdf |title=Pairings of Circles and Sawayama’s Theorem |access-date=2024/5/20 |publisher=Forum Geometricorum |author=Paris Pamfilos}}</ref>。

　円{{Mvar|Q}}と△{{Mvar|ABC}}の外接円{{Mvar|O}}との接点を{{Mvar|K}}とする。{{Mvar|K}}を中心とする円の[[図形の相似|相似]]から{{Mvar|KE}}と{{Mvar|O}}の交点{{Mvar|N}}は[[弧 (幾何学)|弧]]{{Mvar|BC}}の中点、つまり{{Mvar|AI}}と{{Mvar|O}}の交点である。したがって、{{Mvar|KE}}は∠{{Mvar|BKC}}の[[二等分線]]である。また{{Mvar|KF}}と{{Mvar|O}}の交点を{{Mvar|L}}、{{Mvar|AN}}と{{Mvar|EF}}の交点を{{Mvar|J}}として、{{Mvar|EF//NL}}なのでライムの定理<ref group="註"> ライムの定理（Reim's theorem）:2点A,Bを通る2つの円の片方に点E,Fがあるとする。AE,BFともう一方の円の交点をそれぞれG,HとするとEF,GHは平行である[https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/Reim1.shtml]。[[円に内接する四角形|内接四角形]]の角とその対角の外角が等しいことから導かれる。</ref>の[[逆]]から、{{Mvar|A,J,F,K}}は[[共円]]である。△{{Mvar|AFJ}}と{{Mvar|F,E,J}}に、ミケル点を{{Mvar|K}}として[[ミケルの定理]]を用いることで、{{Mvar|AJ}}と円{{Mvar|JEK}}は{{Mvar|J}}で接することが分かる。円{{Mvar|Q,JEK}}は{{Mvar|EK}}で[[根軸|共軸]]で、{{Mvar|AJ}}と円{{Mvar|JEK}}が接することから、{{Mvar|N}}を中心とし{{Mvar|J}}を通る円と円{{Mvar|JEK,Q}}は[[直交]]する。ところで、∠{{Mvar|NKB}}=∠{{Mvar|NCB}}=∠{{Mvar|NBC}}と[[接弦定理]]の逆から円{{Mvar|BKE}}は{{Mvar|BN}}と接するので、共軸な3円{{Mvar|Q,JEK,BEK}}は、すべて{{Mvar|N}}を中心とし{{Mvar|J}}を通る円と直交する。したがって{{Mvar|1=NB=NJ=NC}}である。[[トリリウムの定理]]より{{Mvar|1=NB=NI=NC}}なので{{Mvar|1=I=J}}。以上より{{Mvar|E,F,I}}の共線が示された。

特に{{Mvar|1=M=B}}とすると、円{{Mvar|Q}}は{{Mvar|B}}の[[混線内接円]]となり、この[[補題]]は'''ニクソンの定理'''（theorem of Nixon,Nixon theorem）と呼ばれる<ref>{{Cite journal|author=Nguyen Chuong Chi|year=2018|title=A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama  Lemma|url=https://journal-1.eu/2018/Nguyen%20Chuong%20Chi%20-%20Dao's%20generalization.pdf|journal=International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM)|volume=Volume 3|pages=1-4}}</ref>。Dao Thanh Oaiは[[等角共役点]]を用いた一般化を発表している<ref name=":2" />。

==== 本題 ====
・{{Mvar|P,Q,I}}は共線である。

円{{Mvar|P}}と{{Mvar|BC,AM}}の[[接点 (数学)|接点]]を{{Mvar|G,H}}とする。{{Mvar|P,Q}}はそれぞれ∠{{Mvar|AMB}}の内側、外側の二等分線上にあり、また{{Mvar|GH,EF}}はそれぞれの[[垂線]]であるので、{{Mvar|GH//MQ,EF//MP}}である。さらに{{Mvar|PG//QE}}なので[[パップスの六角形定理]]の逆より、{{Mvar|P,Q,I}}の共線が示された。

== 脚注 ==
=== 出典 ===
<references />
=== 注釈 ===
{{Reflist|group=註}}

== 外部リンク ==

* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Thebault1.shtml Thébault's problems and variations] at cut-the.knot.org
{{デフォルトソート:てほうのていり}}
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:四角形に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:証明を含む記事]]