テボーの定理

テボーの問題

テボーの定理（テボーのていり、テンプレート:Lang-en-short、テンプレート:Lang-fr-short）は、フランスの数学者、ヴィクトル・テボーが提唱したいくつかの幾何学の問題の総称である。それぞれは、テボーの問題I, II, IIIとして知られている。

テボーの問題 I

ある平行四辺形の4辺の外側に正方形を作る。このとき、4つの正方形の中心は正方形を作る（デポールの定理、テボールの定理とも呼ばれる）。

これはヴァン・オーベルの定理の特別な場合である。またヴァン・オーベルの定理は、ペトル＝ダグラス＝ノイマンの定理の系でもある。

テボーの問題Iをもとにしてつくられたタイルのパターン

テボーの問題 II

ある正方形の隣り合う二辺に正三角形を作る。ただし、双方ともに、外側または内側にあるとする。このとき、2つの正三角形の頂点でない正方形の頂点と、正方形の頂点でない二つの正三角形の頂点が成す三角形は正三角形である。

テボーの問題 III

ある三角形テンプレート:Mvarと、テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarと三角形テンプレート:Mvarの外接円に接する（内接する）円をテンプレート:Mvarの両側にそれぞれ作る。 2つの円の中心テンプレート:Mvarと三角形テンプレート:Mvarの内心テンプレート:Mvarは共線である。澤山-テボーの定理（Sawayama-Thébault theorem,Sawayama and Thébault's theorem）とも呼ばれている。また、円テンプレート:Mvarは曲線内接円（curvilinear incircle）と呼ばれる。

2003年まで、学会はテボーの問題 IIIの証明はこれらの問題の中で最も難しいと考えていた。テボーの問題 IIIは1938年、テンプレート:仮リンクで紹介され、1973年に、オランダの数学者H・ストリーフカーク（H. Streefkerk）によって証明された。しかし東京の陸軍中央幼年学校の教官であった陸軍教授澤山勇三郞が1905年に独自に証明を与えていたことが、2003年、ジャン＝ルイ・エーメ（Jean-Louis Ayme）によって発見された。

テボーの問題 IIIの円を傍接に置き換えたもの、つまり内心を傍心に、2つの円を外接円に外接するように置き換えたものは、2002年、Shay Gueronによって発見され、 ケイシーの定理を用いて証明された 。澤山-テボーの定理は以下のようにも言い換えることができる。

ジャン=ルイ・エーメによる証明

補題（澤山の補題）

澤山の補題、テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarと一致することを示している。

・円テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの接点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarは共線である。

　円テンプレート:Mvarと△テンプレート:Mvarの外接円テンプレート:Mvarとの接点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarを中心とする円の相似からテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarは弧テンプレート:Mvarの中点、つまりテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点である。したがって、テンプレート:Mvarは∠テンプレート:Mvarの二等分線である。またテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvarとして、テンプレート:Mvarなのでライムの定理の逆から、テンプレート:Mvarは共円である。△テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarに、ミケル点をテンプレート:Mvarとしてミケルの定理を用いることで、テンプレート:Mvarと円テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarで接することが分かる。円テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarで共軸で、テンプレート:Mvarと円テンプレート:Mvarが接することから、テンプレート:Mvarを中心としテンプレート:Mvarを通る円と円テンプレート:Mvarは直交する。ところで、∠テンプレート:Mvar=∠テンプレート:Mvar=∠テンプレート:Mvarと接弦定理の逆から円テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarと接するので、共軸な3円テンプレート:Mvarは、すべてテンプレート:Mvarを中心としテンプレート:Mvarを通る円と直交する。したがってテンプレート:Mvarである。トリリウムの定理よりテンプレート:Mvarなのでテンプレート:Mvar。以上よりテンプレート:Mvarの共線が示された。

特にテンプレート:Mvarとすると、円テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの混線内接円となり、この補題はニクソンの定理（theorem of Nixon,Nixon theorem）と呼ばれる。Dao Thanh Oaiは等角共役点を用いた一般化を発表している。

本題

・テンプレート:Mvarは共線である。

円テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの接点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarはそれぞれ∠テンプレート:Mvarの内側、外側の二等分線上にあり、またテンプレート:Mvarはそれぞれの垂線であるので、テンプレート:Mvarである。さらにテンプレート:Mvarなのでパップスの六角形定理の逆より、テンプレート:Mvarの共線が示された。

外部リンク

• Thébault's problems and variations at cut-the.knot.org