混線内接円

混線内接円（こんせんないせつえん、テンプレート:Lang-en-short）とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 $A$ を含む二辺に接する混線内接円は $A$ 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。

三角形 $ABC$ の $A$ 混線内接円

一意に存在することの証明

三角形 $ABC$ の $A$ 傍接円は一意に存在する。$A$ を中心とし $\sqrt{AB\cdot AC}$ を半径とする反転と、角 $A$ の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を $\mathrm{\Phi }$ とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、$\mathrm{\Phi }$ も同様である。このとき、$\mathrm{\Phi }$ による $A$ 傍接円の像は、辺 $AB$ と辺 $AC$ に内接し、かつ三角形 $ABC$ の外接円に接するので、すなわち $A$ 混線内接円である。したがって、$A$ 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により $B$ と $C$ に対しても同じことが示される。

作図

六角形 $XCABY{T}_A$ とその三組の対辺の交点 $D,I,E$

$A$ 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる。

1. 角の二等分線を交わらせることで内心 $I$ を描く。
2. $I$ を通り直線 $AI$ に垂直な直線を描き、直線 $AB$ と $AC$ との交点をそれぞれ点 $D$ と $E$ とする。これらは混線内接円が接する点になる。
3. 点 $D$ と $E$ からそれぞれ $AB$ と $AC$ の垂線を描き、その交点を $O_A$ とする。$O_A$ を中心とし $O_{A}E$ を半径とする円が混線内接円である。

この作図は次の事実により保証されている。

補題（ニクソンの定理）

この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である。

証明

$\mathrm{\Gamma }$ を三角形 $ABC$ の外接円とし、$T_A$ を $A$ 混線内接円 ${\mathrm{\Omega }}_A$ と $\mathrm{\Gamma }$ の接点とする。$T_A$ と異なる点 $X$ と $Y$ を、それぞれ $T_{A}D$ と $\mathrm{\Gamma }$ の、$T_{A}E$ と $\mathrm{\Gamma }$ の交点とする。$T_A$ を中心として ${\mathrm{\Omega }}_A$ と $\mathrm{\Gamma }$ のあいだに相似変換を施すことにより、$X$ と $Y$ がそれぞれ $\mathrm{\Gamma }$ の弧 $AB$ と $AC$ の中点であることがわかる。円周角の定理により、$X,I,C$ と $Y,I,B$ がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を $\mathrm{\Gamma }$ に接する六角形 $XCABY{T}_A$ に適用することにより、$D,I,E$ が共線であることがわかる。角 $\mathrm{\angle }DAI$ と $\mathrm{\angle }IAE$ が等しいことから、$I$ が線分 $DE$ の中点であることが従う。

他の性質

半径

次の公式は内接円の半径 $r$ と三角形 $ABC$ の $A$ 混線内接円の半径 ${\rho }_A$ を結びつける。

$$r={\rho }_A{\cos }^2\frac{A}{2}$$

このことから即座に次の式が従う：

$$AD=AE=\frac{{\rho }_A}{\tan \frac{A}{2}}=\frac{2r}{\sin A}=\frac{bc}{s}$$

ただし $s$ は半周長であり、またこの式は点 $A,B,C$ と円 $O$ に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる。

外接円の点との関係

• 点 $A$ を含む弧 $BC$ の中点は直線 $T_{A}I$ 上にある。
• 四角形 $T_{A}XAY$ は調和四角形である。すなわち、$T_{A}A$ は三角形 $X{T}_{A}Y$ の類似中線である。

外接円との接点に関連する円

• $T_{A}BDI$ と $T_{A}CEI$ は共円四辺形である。

螺旋相似

• $T_A$ は $B$ と $I$ をそれぞれ $I$ と $C$ に写すテンプレート:仮リンクの中心である。

三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係

頂点と接点を結ぶ直線

各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersではテンプレート:Mathとして紹介されている。三線座標では $\frac{a}{c+a-b}:\frac{b}{c+a-b}:\frac{c}{a+b-c}$ であり、重心座標では $\frac{a^2}{c+a-b}:\frac{b^2}{c+a-b}:\frac{c^2}{a+b-c}$ である。

この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる。

根心

三つの混線内接円の根心 $J$ は、$OI$ を$$OJ:JI=2R:-r$$に内分する。ここで $I$ は内心、$r$ は内半径、$O$ は外心、$R$ は外半径である。

$J$はミッテンプンクトの等角共役テンプレート:Mathと内心の中点である。また、重心とテンプレート:仮リンクと共線である。Encyclopedia of Triangle Centersではテンプレート:Mathに該当し三線座標は以下の式で与えられる。

$a(a^2+4bc-b^2-c^2):b(b^2+4ca-c^2-a^2):c(c^2+4ab-a^2-b^2)$

混線傍接円

ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に外接する円を混線傍接円（Mixtilinear excircles）という。混線内接円と同様に、二辺との接点の中点は傍心である。また、混線傍接円の中心の成す三角形は第ニ混線三角形（2nd mixtilinear triangle,outer-mixtilinear triangle）と呼ばれる。

頂点と接点を結ぶ直線

各頂点と、それに対応する混線傍接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の内相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは テンプレート:Math として紹介されている。三線座標では$a(c+a-b):b(c+a-b):c(a+b-c)$であり、重心座標では$a^2(c+a-b):b^2(c+a-b):c^2(a+b-c)$である。

この点はOI線、重心とフォイエルバッハ点、垂心とフォイエルバッハ点の調和共役、ナーゲル点とシフラー点を通る直線上にある。また、ジェルゴンヌ点の等角共役である。混線傍接円が外接円と接する点の成す三角形は第四混線三角形（4th mixtilinear triangle）と呼ばれる。

根心

三つの混線傍接円の根心$J^{\prime }$は$OI$ を$$O{J}^{\prime }:J^{\prime }I=2R:4R-r$$に内分する。Encyclopedia of Triangle Centersではテンプレート:Mathに該当し三線座標は以下の式で与えられる。$$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$$ただし$$f(a,b,c)=a(a^4-2(b+c)a^3+10a^{2}bc+2(b+c)(b^2+c^2-4bc)a-(4bc+b^2+c^2)(b-c{)}^2)$$

アポロニウス円

3つの混線傍接円のアポロニウス円（3つの混線傍接円に外接する円）の中心テンプレート:MathはOI線上に存在する。

関連

• 曲線内接円