ヴァン・オーベルの定理

ヴァン・オーベルの定理（Van Aubel's theorem）とは四角形に関する幾何学の定理である。1878年の、ベルギーの数学者 Henricus Hubertus Van Aubel の発表にちなんで命名された。

オーベルの定理ともいう。

ヴァン・オーベルの定理の図示。

定理

任意の四角形の各辺に外接する正方形で、対向する正方形の重心を結んだ2線分は、長さが等しく、直交する。

証明

四角形 テンプレート:Mvar に対して，頂点 テンプレート:Mvar を原点 テンプレート:Mvar とする。ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Math に、ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Math に、ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Math に、ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Math に対応させる。ここで複素数の係数2は計算上の便宜的なものである。また、正方形の中心については、ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Mvar に、ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Mvar に、ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Mvar に、ベクトル テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Mvar に対応させる。四角形 テンプレート:Mvar は閉じているから、ベクトルを計算すると

$2a+2b+2c+2d=0$

つまり、

$a+b+c+d=0$

となる。この条件で証明することになる。 点 テンプレート:Mvar は点 テンプレート:Mvar から点 テンプレート:Mvar に向かって半分進み、90度方向を変えて半分だけ進むから、複素数 テンプレート:Mvar は、

$p=a+ia=(1+i)a$

となる。ここに、テンプレート:Mvar は虚数単位で、テンプレート:Math である。複素数は極形式 テンプレート:Math でも表現され、

$i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=\exp \left(\frac{\pi }{2}i\right)$

であるから、テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar をかけるということは半径 テンプレート:Math、偏角 テンプレート:Math の複素数をかけるということであり、拡大縮小をともなわない回転移動ということになる。

同様にして、複素数 テンプレート:Mvar は次のようになる。

$q=2a+(1+i)b$

$r=2a+2b+(1+i)c$

$s=2a+2b+2c+(1+i)d$

点 テンプレート:Mvar から点 テンプレート:Mvar に向かうベクトルを テンプレート:Mvar 、点 テンプレート:Mvar から点 テンプレート:Mvar に向かうベクトルを テンプレート:Mvar とすると，テンプレート:Mvar は テンプレート:Math ，テンプレート:Mvar は テンプレート:Math であるから、

$A=s-q=(b+2c+d)+i(d-b)$

$B=r-p=(a+2b+c)+i(c-a)$

となる。証明すべきは、線分 テンプレート:Mvar と線分 テンプレート:Mvar の長さが等しく、互いに直交していることであるから、複素数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の関係が、

$B=iA$

を満たすことである。または、この式の両辺に テンプレート:Mvar をかけて整理すると、

$A+iB=0$

となり、この式で証明してもよい。実際に計算すると、

$A+iB$

$=(b+2c+d-c+a)+i(d-b+a+2b+c)$

$=(a+b+c+d)+i(a+b+c+d)=0$

となる。

なお、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理を用いた証明もある。

性質

• 四角形の対角線の中点と、ヴァン・オーベルの定理の直交する2線分の中点は共円である。

一般化

ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、ヤコビの定理のような形で、直交性を拡張した。

任意の四角形テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mathとなるように点テンプレート:Mvarを配置したとき、テンプレート:Mathが成立する。

Mathematical Gazetteでは、ひし形や平行四辺形への拡張も示されている。

参考文献

• 西山豊 テンプレート:PDFlink『理系への数学』2009年11月　- 定理の概要-証明

関連項目

• ペトル–ダグラス–ノイマンの定理
• テボーの定理
• ナポレオンの定理
• ボッテマの定理
• ベクタン点
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:MathWorld