ボッテマの定理

ユークリッド幾何学において、ボッテマの定理（ぼってまのていり、テンプレート:Lang-en）とはオランダの数学者テンプレート:仮リンク（フローニンゲン, 1901–1992）にちなんで名づけられた定理である^[1]。

三角形 $A B C$ についてそれぞれ $A C$ , $B C$ を一辺とする正方形を外側に描く。このときそれぞれの正方形の、 $C$ と反対の点を結んだ線分の中点 $M$ は $C$ の位置に依らない^[2]。

また $M$ は、辺 $A B$ の中点を $S$ とし $A S = B S = M S$ を満たす三角形の内側の点、つまり $∠ M A B = ∠ M B A = - \frac{π}{4}$ を満たす点となる。

ボッテマの定理は内側に正方形を描いたときも同様に成り立つことが知られており、このとき $M$ は $A S = B S = M S$ を満たす三角形の外側の点、つまり $∠ M A B = ∠ M B A = \frac{π}{4}$ を満たす点となる。

更に、ボッテマの定理は任意の正多角形に一般化できる ^[3]^[4]^[5]。

三角形 $A B C$ に、それぞれ辺 $A C$ , $B C$ を一辺とする正多角形を外側あるいは内側に描く。また正多角形の外接円上の頂点 $C$ の対蹠点をそれぞれ $D_{1}$ , $D_{2}$ とする。この時、 $D_{1} D_{2}$ の中点は $C$ の位置に依らない。

幾何学においてはカルノーの定理 (垂線)をボッテマの定理という場合もある^[6]。

参考文献