ヤコビの定理 (幾何学)

隣接する色の角は等しい。 テンプレート:Mvar はテンプレート:Mathとこの角に対するヤコビ点。

ユークリッド幾何学において, ヤコビの定理（やこびのていり、テンプレート:Lang-en）とは任意の三角形テンプレート:Mathと角テンプレート:Mvarについての定理である。 三点 テンプレート:Mvar が$$\begin{array}{ccc}\mathrm{\angle }ZAB& =\mathrm{\angle }YAC& =\alpha ,\\ \mathrm{\angle }XBC& =\mathrm{\angle }ZBA& =\beta ,\\ \mathrm{\angle }YCA& =\mathrm{\angle }XCB& =\gamma .\end{array}$$を満たすときテンプレート:Mvarは共点であり、その点をヤコビ点（Jacobi point）という。ヤコビの定理はカール・フリードリヒ・アンドレアス・ヤコビにちなんで名づけられた。

ヤコビ点は フェルマー点の一般化で, テンプレート:Mathとしたときにフェルマー点となる。

3つの角が等しいとき, ヤコビ点 テンプレート:Mvar は重心座標 で以下の式を満たす双曲線上にある。$$yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,$$これはキーペルト双曲線と呼ばれる。

ヤコビ点は次のように一般化することができる。

テンプレート:Mathのそれぞれの辺上に点テンプレート:Mvarを、 テンプレート:Math を満たすように配置する。更に点テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathかつ、テンプレート:Mathを満たすように作ったとき、テンプレート:Mvarは共点である。

外部リンク

• A simple proof of Jacobi's theorem   written by Kostas Vittas
• Fermat-Torricelli generalization at Dynamic Geometry Sketches First interactive sketch generalizes the Fermat-Torricelli point to the Jacobi point, while 2nd one gives a further generalization of the Jacobi point.