ペトル=ダグラス=ノイマンの定理

テンプレート:暫定記事名幾何学において、ペトル–ダグラス–ノイマンの定理（ペトル–ダグラス–ノイマンのていり、テンプレート:Lang-en）は、平面上の任意の多角形と正多角形に関する定理である^[1]。1905年と1908年、プラハとドイツにおけるカレル・ペトルの出版による発表が初出であり^[2]^[3]^[4]、その後、それぞれ1940年と1941年にジェス・ダグラスとベルンハルト・ノイマンによって、独自に再発見された^[4]^[5]^[6]。命名はStephen B Grayによる^[4]。ペトル=ダグラス=ノイマンの定理は、ダグラスの定理（Douglas's theorem）、ダグラス–ノイマンの定理（Douglas–Neumann theorem）、ナポレオン–ダグラス–ノイマンの定理（Napoleon–Douglas–Neumann theorem）、ペトルの定理（Petr's theorem）、PDN定理（PDN-theorem）などとも呼ばれる^[4]^[7]。

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理はナポレオンの定理、ヴァン・オーベルの定理の一般化となっている。

内容

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理の主張は以下のとおりである^[5]^[8]^[9]。

テンプレート:Quote

三角形の場合

テンプレート:Mathとすることで、テンプレート:Mathを満たす整数は1のみである。つまり任意の三角形のそれぞれの辺上に頂角120°の二等辺三角形を作ったとき、それら頂点からなる三角形であるナポレオンの三角形と呼ばれる正三角形の中心が、元の三角形の重心と一致する。これはナポレオンの定理である。

四角形の場合

四角形の場合、テンプレート:Mathなのでkは1,2である。したがって二等辺三角形の頂角は以下のようになる。

$\frac{(2 \times 1 \times π)}{4} = \frac{π}{2} = 9 0^{\circ} (k = 1)$ $\frac{(2 \times 2 \times π)}{4} = π = 18 0^{\circ} (k = 2)$

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理によれば四角形テンプレート:Mathは正方形である。テンプレート:Mathの順序によって、二つの方法でテンプレート:Mathを作成できる。ただし頂角πの二等辺三角形の頂点は底辺の中点とする。

A₁をπ/2、A₂をπとした場合の作図

テンプレート:Mathを、頂角テンプレート:Mathかつ、四角形テンプレート:Mathの辺を底辺とする二等辺三角形の頂点が成す四角形とする。テンプレート:Mathはテンプレート:Mathの辺の中点が成す四角形で、正方形となる。

テンプレート:Mathの頂点はテンプレート:Mathのそれぞれ辺を一辺とする正方形の中心である。また、テンプレート:Mathはテンプレート:Mathのヴァリニョンの平行四辺形であり、その同値条件からテンプレート:Mathは対角線の長さが等しい且つ直交する四角形であることが分かる。すなわちこれは、ヴァン・オーベルの定理である。

A₁をπ、A₂をπ/2とした場合の作図

テンプレート:Mathは四角形テンプレート:Mathのヴァリニョンの平行四辺形である。ペトル=ダグラス=ノイマンの定理よりテンプレート:Mathをテンプレート:Mathのそれぞれの辺を底辺とする、頂角テンプレート:Mathの三角形の頂点が成す四角形は正方形である。すなわちこれは、テボーの問題Iである。

四角形におけるペトル=ダグラス=ノイマンの定理の画像


テンプレート:Math=ABCD,テンプレート:Math=EFGH,テンプレート:Math=PQRS。テンプレート:Mathの頂角はそれぞれテンプレート:Math。	テンプレート:Math=ABCD,テンプレート:Math=EFGH,テンプレート:Math=PQRS。テンプレート:Mathの頂角はそれぞれテンプレート:Math。


テンプレート:Mathが自己交叉し、テンプレート:Mathの頂角がそれぞれテンプレート:Mathである場合。	テンプレート:Mathが自己交叉し、テンプレート:Mathの頂角がそれぞれテンプレート:Mathである場合。


ヴァン・オーベルの定理とペトル=ダグラス=ノイマンの定理の図解

五角形の場合

五角形においては、テンプレート:Mathよりテンプレート:Mathで二等辺三角形の頂角は以下のようになる。

$\frac{(2 \times 1 \times π)}{5} = \frac{2 π}{5} = 7 2^{\circ} (k = 1)$ $\frac{(2 \times 2 \times π)}{5} = \frac{4 π}{5} = 14 4^{\circ} (k = 2)$ $\frac{(2 \times 3 \times π)}{5} = \frac{6 π}{5} = 21 6^{\circ} (k = 3)$

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理によれば、テンプレート:Mathは正五角形である。3つの角の順序によって下の表の様に6つの正五角形ができる。

数	A₁の頂角	A₂の頂角	A₃の頂角
1	72°	144°	216°
2	72°	216°	144°
3	144°	72°	216°
4	144°	216°	72°
5	216°	72°	144°
6	216°	144°	72°

定理の証明

この定理の証明はn角形の頂点を複素数で表すことから始まる^[4]^[7]^[10]。複素n次元空間の列ベクトルでn角形Aを以下の様に表す。

$A = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$

多角形BをAのそれぞれの辺を底辺とする頂角テンプレート:Mvarの二等辺三角形の頂点の成すn角形として、以下の様に置く。

$B = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

ここでiを虚数単位、eをネイピア数として、テンプレート:Mathとおくと

$α (a_{r} - b_{r}) = a_{r + 1} - b_{r}$

が成り立つので

$b_{r} = (1 - α)^{- 1} (a_{r + 1} - α a_{r})$

を得る。テンプレート:Mathをテンプレート:Mathに変換する行列、線型作用素をテンプレート:Mathとする（テンプレート:Mathとする）。またIをテンプレート:Mathの単位行列としてBを以下のように表せる。

$B = (1 - α)^{- 1} (S - α I) A$

つまりj番目の過程で得られる多角形テンプレート:Mathがテンプレート:Mathと以下の関係にあることを意味する。

$A_{j + 1} = (1 - ω^{σ_{j}})^{- 1} (S - ω^{σ_{j}} I) A_{j} \dots (1)$

ここでテンプレート:Mathは1の原始n乗根で、テンプレート:Mathは整数列テンプレート:Mathの j番目の項である。

下記のように、テンプレート:Mathからすべての作用素を掛け合わせたものは、行列テンプレート:Math が巡回行列であるため、積は順列σの順序に依らない。

$\prod_{j = 1}^{n - 2} (1 - ω^{j})^{- 1} (S - ω^{j} I)$

多角形テンプレート:Mathが正多角形であることを示すには、Pの辺が隣の辺をテンプレート:Mathで回転したものであること、つまり

$p_{r + 1} - p_{r} = ω (p_{r + 2} - p_{r + 1})$

を示さなければならない。

この条件は以下の様にまとめられる。

$(S - I) (I - ω S) P = 0$ または、 $(S - I) (S - ω^{n - 1} I) P = 0 (∵ ω^{n} = 1)$

テンプレート:Mathが正多角形であることは、次のような計算を施すことで示すことができる。

$(S - I) (S - ω^{n - 1} I) A_{n - 2}$ $= (S - I) (S - ω^{n - 1} I) (1 - ω)^{- 1} (S - ω I) (1 - ω^{2})^{- 1} (S - ω^{2} I) \dots (1 - ω^{n - 2})^{- 1} (S - ω^{n - 2} I) A_{0}$ $= \prod_{j = 1}^{n - 2} ((1 - ω^{j})^{- 1}) \cdot \prod_{j = 0}^{n - 1} ((S - ω^{j} I)) \cdot A_{0}$ $= \prod_{j = 1}^{n - 2} ((1 - ω^{j})^{- 1}) \cdot (S^{n} - I) A_{0}$ $= 0 (∵ S^{n} = I)$

幾何中心テンプレート:Mathが一致する事を示すには、すべての頂点の相加平均を求めればよい。Aをn個の成分をもつベクトルとして、幾何中心を複素内積によって表すことを考えると、テンプレート:Mathとして

$c_{A} = E A$

である。式(1)の両辺にEをかけると、

$c_{A_{j + 1}} = E A_{j + 1} = (1 - ω^{σ_{j}})^{- 1} E (S - ω^{σ_{j}} I) A_{j} = (1 - ω^{σ_{j}})^{- 1} (1 - ω^{σ_{j}}) E A_{j} = E A_{j} = c_{A_{j}}$

を得る。したがってすべての幾何中心は一致する。

出典

テンプレート:Reflist

外部リンク

[1] テンプレート:Cite journal

[2] テンプレート:Cite journal

[3] テンプレート:Cite journal

[Gray-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 テンプレート:Cite journal

[Douglas-5] 5.0 ^5.1 テンプレート:Cite journal

[6] テンプレート:Cite journal

[:0-7] 7.0 ^7.1 テンプレート:Cite journal

[8] テンプレート:Cite web

[9] テンプレート:Cite journal

[10] テンプレート:Cite web

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ペトル=ダグラス=ノイマンの定理

目次

内容

三角形の場合