ディニ微分のソースを表示

[[数学]]の、特に[[実解析]]の分野における'''ディニ微分'''（でぃにびぶん、{{lang-en-short|''Dini derivative''}}）とは、[[微分]]の概念を一般化したある一類の総称である。

== 定義 ==
[[連続関数]] ''f'': '''R''' &rarr; '''R''' の'''上側ディニ微分'''（しばしば'''右上微分'''とも呼ばれる<ref name="Khalil02">{{cite book | last = Khalil | first = H.K. | authorlink = ハッサン・カリル | year = 2002 | edition = 3rd | url = http://www.egr.msu.edu/~khalil/NonlinearSystems/ | isbn = 0-13-067389-7 | title = Nonlinear Systems | publisher = [[プレンティス・ホール出版|Prentice Hall]] | location = Upper Saddle River, NJ}}</ref>）は、
:<math>f'_+(t) \stackrel{\text{def}}{{}={}} \limsup_{h \to {0+}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}</math>
により定義される。ここで {{math|<code>limsup</code>}} は[[上極限]]を表す。同様に、'''下側ディニ微分'''は
:<math>f'_-(t) \stackrel{\text{def}}{{}={}} \liminf_{h \to {0+}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}</math>
により定義される。ここで {{math|<code>liminf</code>}} は[[下極限]]を表す。

''f'' が[[ベクトル空間]]上で定義される汎函数のときは、''t'' における、方向 ''d'' への上側ディニ微分が
:<math>f'_+ (t,d) \stackrel{\text{def}}{{}={}} \limsup_{h \to {0+}} \frac{f(t + hd) - f(t)}{h}</math>
により定義される。

; 注意
:* [[補完数直線]]上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+&infin; や &minus;&infin; となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
:* ''f'' が局所[[リプシッツ連続]]ならば、ディニ微分 <math>f'_+</math> は有限である。もし ''f'' が ''t'' において[[微分可能]]ならば、その ''t'' における各ディニ微分は通常の意味での[[微分]]に等しい。

== D 記法と追加の定義 ==
しばしば <math>f'_+(t)</math> の代わりに <math>D^+ f(t)</math>, <math>f'_-(t)</math> の代わりに <math>D_+f(t)</math> が記号として用いられ<ref name="Khalil02"/>、また
: <math>
 D^-f(t) \stackrel{\text{def}}{{}={}} \limsup_{h \to {0-}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h},\quad 
 D_-f(t) \stackrel{\text{def}}{{}={}} \liminf_{h \to {0-}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}
</math>
が定義される。つまり、ディニ微分の「''D'' 記法」は、プラスかマイナスかの符号によってそれぞれ左側、右側からの微分を表し、その符号の位置が上か下かによってそれぞれ上極限、下極限を表すのである。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ダンジョワ・ヤング・ザックスの定理|en|Denjoy–Young–Saks theorem}}
* {{仮リンク|微分法の一般化|en|Generalizations of the derivative}}

== 参考文献 ==
{{PlanetMath attribution|title=Dini derivative|id=34714}}

; 個別出典
{{reflist}}

; 全般参照
{{refbegin}}
* {{SpringerEOM|title=Dini derivative|last=Lukashenko|first=T.P.|urlname=Dini_derivative}}.
* {{Cite book|first=H.L.|last=Royden|title=Real analysis|publisher=MacMillan|year=1968|edition=2nd|isbn=0-02-404150-5|postscript=<!--None-->}}.
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:ていにひふん}}
[[Category:微分積分学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:微分の一般化]]