ディニ微分

数学の、特に実解析の分野におけるディニ微分（でぃにびぶん、テンプレート:Lang-en-short）とは、微分の概念を一般化したある一類の総称である。

定義

連続関数 f: R → R の上側ディニ微分（しばしば右上微分とも呼ばれる）は、

$f{\text{'}}_{+}(t)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{h\to 0+}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

により定義される。ここで テンプレート:Math は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は

$f{\text{'}}_{-}(t)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{h\to 0+}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

により定義される。ここで テンプレート:Math は下極限を表す。

f がベクトル空間上で定義される汎函数のときは、t における、方向 d への上側ディニ微分が

$f{\text{'}}_{+}(t,d)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{h\to 0+}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(t+hd)-f(t)}{h}$

により定義される。

注意

• 補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や −∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
• f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 $f{\text{'}}_{+}$ は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。

D 記法と追加の定義

しばしば $f{\text{'}}_{+}(t)$ の代わりに $D^{+}f(t)$, $f{\text{'}}_{-}(t)$ の代わりに $D_{+}f(t)$ が記号として用いられ、また

$D^{-}f(t)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{h\to 0-}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h},D_{-}f(t)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{h\to 0-}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

が定義される。つまり、ディニ微分の「D 記法」は、プラスかマイナスかの符号によってそれぞれ左側、右側からの微分を表し、その符号の位置が上か下かによってそれぞれ上極限、下極限を表すのである。

関連項目

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参考文献

個別出典

全般参照

• テンプレート:SpringerEOM.
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