ディラック方程式のソースを表示

{{Expand English|Dirac equation|date=2023-11}}
{{出典の明記|date=2017年3月7日 (火) 14:35 (UTC)}}
{{場の量子論}}
'''ディラック方程式'''（ディラックほうていしき、{{lang-en-short|Dirac equation}}）は、[[フェルミ粒子]]を記述する[[ディラック場]]が従う[[基礎方程式]]である。[[ポール・ディラック]]により[[相対論的量子力学]]として導入され、[[場の量子論]]に受け継がれている。

== 歴史 ==
非相対論的な[[シュレーディンガー方程式]]を、[[相対性理論|相対論]]へ対応するための拡張として、最初[[クライン-ゴルドン方程式]]が考案された。これは負のエネルギー解と負の[[確率密度]]の問題が生じた（この問題は、その後の[[場の量子論]]においては回避される）。また、クライン-ゴルドン方程式には[[スピン角運動量|スピン]]が出てこない問題もあった（これはクライン-ゴルドン方程式に従う[[スカラー場]]がスピンを持たない粒子を記述する為である）。

[[ポール・ディラック]]は[[1928年]]に'''ディラック方程式'''を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。

しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。[[オスカル・クライン]]は、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。

[[1930年]]にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とする'''[[ディラックの海]]'''の概念（'''空孔理論'''、{{en|hole theory}}）を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を[[陽子]]であると考えた。後に空孔は[[陽電子]]であることが指摘された（[[ヘルマン・ワイル]]、[[ロバート・オッペンハイマー]]による）。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、[[反粒子]]に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。[[1932年]]の[[カール・デイヴィッド・アンダーソン|デヴィッド・アンダーソン]]による陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。

その後、[[リチャード・P・ファインマン]]等により拡張、解釈の見直しが図られた（相対論的な場の量子論）。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。
{{main|量子電磁力学}}

== ディラック方程式 ==
ディラック方程式は <math>\hbar=1,c=1</math> とする[[自然単位系]]では
{{Indent|
<math>i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x) -m\psi(x)=0</math>
}}
と表される。&psi; は4成分[[スピノル]]の場（[[ディラック場]]）である。
{{Indent|
<math> \psi(x) = 
\begin{pmatrix}
 \psi_1(x)\\
 \psi_2(x)\\
 \psi_3(x)\\
 \psi_4(x)\\
\end{pmatrix} </math>
}}
m は &psi; の[[質量]]である。&mu;=0,1,2,3 については[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。微分<math>\partial_\mu</math> は
{{Indent|
<math>\partial_\mu =\frac{\partial}{\partial x^\mu}
 =\left( \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)</math>
}}
である。
<math>\gamma^\mu</math> は'''[[ガンマ行列]]'''（ディラック行列）と呼ばれる 4&times;4行列で
{{Indent|
<math>\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \}
 \equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu
 =2\eta^{\mu\nu}</math>
}}
を満たす。<math>\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)</math> は[[ミンコフスキー空間]]の[[計量テンソル]]である。ディラック方程式は3次元的に書けば
{{Indent|
<math>i\gamma^0\frac{\partial\psi}{\partial t}
 +i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\psi
 -m\psi=0</math>
}}
となる。移項して左から <math>\gamma^0</math> を掛ければ
{{Indent|
<math>i\frac{\partial\psi}{\partial{}t} =H\psi
 =-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi +\beta m\psi</math>
}}
と表すことができる。
ただし <math>\alpha^j=\gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0</math> である。ここで<math>H=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta m</math> はディラックの[[ハミルトニアン]]と呼ばれる。

== ディラックの着想 ==
相対論的な量子力学の基礎方程式として考案された[[クライン-ゴルドン方程式]]
{{Indent|
<math>-\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
 =-\nabla^2\psi(t,\boldsymbol{x}) +m^2\psi(t,\boldsymbol{x})</math>
}}
は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式
{{Indent|
<math>i\frac{\partial\psi}{\partial t}
 =-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi(t,\boldsymbol{x})
 +\beta m\psi(t,\boldsymbol{x})</math>
}}
に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式
{{Indent|
<math>( -i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla +\beta m)^2
 =-\nabla^2+ m^2</math>
}}
を満たすように４つの係数 '''&alpha;'''=(&alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, &alpha;<sub>3</sub>)、&beta; を与えることを考えた。このとき、&alpha;<sub>i</sub>(i=1,2,3)、&beta;に要求される代数関係は
{{Indent|
<math>\{ \alpha_i, \alpha_j \}=0\quad i\neq j,</math>
}}
{{Indent|
<math>\{ \alpha_i, \beta \}=0,~
(\alpha_i)^2 = \beta^2 =1</math>
}}
となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

== ローレンツ共変性 ==
ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、[[ローレンツ変換]]
:<math>x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu</math>
:<math>\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)</math>

(&mu;,&nu;=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

:<math>(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0</math>

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4&times;4行列 D(&Lambda;) は

:<math>[D(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)^{-1}]_d{}^b
 = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b </math>

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2&times;2行列 M を用いて

:<math>D(\Lambda) = 
\begin{pmatrix}
M & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\
\end{pmatrix}
</math>
:<math>M \sigma^\mu M^\dagger
 = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu\sigma^\nu</math>

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

:<math>\Lambda^\mu{}_\nu = 
\begin{pmatrix}
\cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\
\end{pmatrix}
</math>
:<math>M = 
\begin{pmatrix}
e^{-\beta/2} & 0 \\
0 & e^{\beta/2} \\
\end{pmatrix}
</math>
となる。

==参考文献==
;原論文
* {{cite journal|author=P.A.M. Dirac|authorlink=ポール・ディラック|url=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/117/778/610|title=The Quantum Theory of the Electron|journal=Proc. R. Soc. A|date=1928|volume=117|issue=778|pages=610-624|doi=10.1098/rspa.1928.0023}}

==関連項目==
*[[相対性理論]]
*[[量子力学]]
*[[場の量子論]]
*[[運動方程式]]
**[[クライン＝ゴルドン方程式]] - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。
<!-- **[[ディラック方程式]] - スピン1/2の相対論的フェルミ粒子。スピノル場。 -->
**[[マクスウェル方程式]] - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
**[[プロカ方程式]] - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
**[[ラリタ＝シュウィンガー方程式]] - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（'''ラリタ＝シュウィンガー場'''）。
**[[アインシュタイン方程式]] - スピン2。
**[[マクシモン]] - [[修正ディラック方程式]]

{{量子力学}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ていらつくほうていしき}}
[[Category:相対論的量子力学]]
[[Category:場の量子論]]
[[Category:スピノル]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:ポール・ディラック]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]