ディリクレの判定法のソースを表示

{{Calculus}}

[[数学]]において、'''ディリクレの判定法'''（ディリクレのはんていほう、{{Lang-en-short|Dirichlet's test}}）は、[[級数]]の[[収束級数|収束]]判定法の一つである。名称はこれを記述した[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]にちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]" においてであった<ref>''Démonstration d’un théorème d’Abel.'' Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), [http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1862_2_7_A43_0 p. 253-255].</ref>。

== 主張 ==

[[実数]]列 <math>\{a_n\}</math> と[[複素数]]列 <math>\{b_n\}</math> が次の条件

:* <math>a_{n+1} \le a_n</math>

:* <math>\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0</math>

:* ある定数 <math>M</math> があり、全ての正の整数 ''N'' に対して <math>\left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M</math>

を満たすならば、級数 <math>\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n</math> は収束する。

== 証明 ==

<math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k</math>、<math>B_n = \sum_{k=1}^n b_k</math> とおく。

[[部分和分|部分和分法]]により <math>S_n = a_{n + 1} B_{n} + \sum_{k=1}^n B_k (a_k - a_{k+1})</math> と変形できる。

<math>B_n</math> は絶対値が ''M'' で抑えられていて <math>a_n \rightarrow 0</math> なので、第1項は0に収束する：
:<math>a_{n + 1}B_{n} \to 0</math> (<math>n\to\infty</math>)

一方 <math>a_n</math> は非増加数列なので <math>a_k - a_{k+1}</math> は任意の ''k'' に対し非負であり、<math>|B_k (a_k - a_{k+1})| \leq M(a_k - a_{k+1})</math> となるが、
:<math> \sum_{k=1}^n M(a_k - a_{k+1}) = M\sum_{k=1}^n (a_k - a_{k+1})=M(a_1 - a_{n+1})</math>
であるから、<math> \sum_{k=1}^\infty M(a_k - a_{k+1})</math> は <math>n\to\infty</math> のとき <math>Ma_1</math> に収束する。

よって[[比較判定法]]により <math> \sum_{k=1
}^\infty |B_k(a_k - a_{k+1})|</math> もまた収束する。級数 <math> \sum_{k=1}^\infty B_k(a_k - a_{k+1})</math> は[[絶対収束]]するから自身もまた収束する。

以上より <math>S_n</math> が収束することが言えた。

== 応用 ==
* ディリクレの判定法で

:: <math>b_n = (-1)^n \Rightarrow\left|\sum_{n=1}^N b_n\right| \leq 1</math>

:とした特別な場合が{{仮リンク|交代級数判定法|en|alternating series test}}である。

* <math>\{a_n\}</math> が減少して0に収束する実数列であれば、<math> \sum_{n=1}^\infty a_n \sin n </math> は常に収束する。

* {{仮リンク|アーベルの判定法|en|Abel's test}}はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。

== 広義積分 ==
[[広義積分]]の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 ''f'' と ''g'' があって、''f'' は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に（積分範囲に依らず）上から抑えられていて、''g'' は非負値かつ単調非増加のとき、''fg'' の広義積分は収束する。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==

* Hardy, G. H., ''A Course of Pure Mathematics'', Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp.&nbsp;379–380).
* Voxman, William L., ''Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis'', Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) {{ISBN2|0-8247-6949-X}}.

== 外部リンク ==
* [https://web.archive.org/web/20060205051707/http://planetmath.org/encyclopedia/DirichletsConvergenceTest.html Proof at PlanetMath.org]

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