ディリクレの判定法

数学において、ディリクレの判定法（ディリクレのはんていほう、テンプレート:Lang-en-short）は、級数の収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées" においてであった。

主張

実数列 $\{a_n\}$ と複素数列 $\{b_n\}$ が次の条件

• $a_{n+1}\le a_n$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

• ある定数 $M$ があり、全ての正の整数 N に対して $\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le M$

を満たすならば、級数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ は収束する。

証明

$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$、$B_n=\sum _{k=1}^n{b}_k$ とおく。

部分和分法により $S_n=a_{n+1}{B}_n+\sum _{k=1}^n{B}_k(a_k-a_{k+1})$ と変形できる。

$B_n$ は絶対値が M で抑えられていて $a_n\to 0$ なので、第1項は0に収束する：

$a_{n+1}{B}_n\to 0$ ($n\to \mathrm{\infty }$)

一方 $a_n$ は非増加数列なので $a_k-a_{k+1}$ は任意の k に対し非負であり、$|B_k(a_k-a_{k+1})|\le M(a_k-a_{k+1})$ となるが、

$\sum _{k=1}^{n}M(a_k-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1})=M(a_1-a_{n+1})$

であるから、$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}M(a_k-a_{k+1})$ は $n\to \mathrm{\infty }$ のとき $M{a}_1$ に収束する。

よって比較判定法により $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|B_k(a_k-a_{k+1})|$ もまた収束する。級数 $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k(a_k-a_{k+1})$ は絶対収束するから自身もまた収束する。

以上より $S_n$ が収束することが言えた。

応用

• ディリクレの判定法で

$b_n=(-1{)}^n\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le 1$

とした特別な場合がテンプレート:仮リンクである。

• $\{a_n\}$ が減少して0に収束する実数列であれば、$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sin n$ は常に収束する。

• テンプレート:仮リンクはディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。

広義積分

広義積分の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 f と g があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に（積分範囲に依らず）上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。

参考文献

• Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) テンプレート:ISBN2.

外部リンク

• Proof at PlanetMath.org