ディリクレベータ関数のソースを表示

{{混同|ベータ関数|x1=[[オイラー積分|第一種オイラー積分]]の}}
{{脚注の不足|date=2023年6月}}
[[ファイル:Mplwp_dirichlet_beta.svg|右|サムネイル|300px|ディリクレのベータ関数]]

'''ディリクレベータ関数'''（ディリクレベータかんすう、{{Lang-en-short|Dirichlet beta function}}）とは、数学における[[リーマンゼータ関数]]と密接な関係がある[[特殊関数]]である。名称はドイツの数学者である[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]にちなむ。

== 定義 ==
ディリクレベータ関数は、複素数 {{math|''s''}} と正の整数 {{math|''n''}} に対して、
: <math> \beta(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} = 1 - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} + \cdots </math>
で定義される関数 {{math|''&beta;''}} である。上記の級数は {{math|''s''}} の実部が {{math|0}} より大きい場合、すなわち {{math|Re ''s'' > 0}} の場合にのみ収束するが、[[解析接続]]による操作を施すことによりすべての複素数で有効な値をもつ[[正則関数|正則]]な[[有理型関数]]となる。[[ガンマ関数]] {{math|''&Gamma;''}} を用いれば、
: <math> \beta(s) = \frac{1}{\varGamma(s)} \int_0^\infty \frac{e^{-x} \, x^{s-1}}{1 + e^{-2x}} \, {\rm d}x </math>
と、[[リーマンゼータ関数]]{{Efn|<math> \zeta(s) = \frac{1}{\varGamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^{-x} - 1} \, {\rm d}x </math>}}と類似した積分表示ができる。

== 性質 ==
=== 乗積表示 ===
リーマンゼータ関数の乗積表示である[[オイラー積]]が示唆するように、リーマンゼータ関数の重要な性質のひとつは素数との関わりが深いことである。同じように、ディリクレベータ関数にも、素数全体を動く変数 {{math|''p''}} を用いた
:<math> \beta(s) = \prod_{p \equiv 1 \bmod{4}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \prod_{p \equiv 3 \bmod{4}} \frac{1}{1 + p^{-s}} </math>
という乗積表示が存在する。

=== 解析接続 ===
ディリクレベータ関数は、任意の複素数 {{math|''s''}} に対して次のような関数方程式が存在する。
:<math> \beta(1-s) = \biggl( \frac2\pi \biggr)^{\!s} \sin \frac{\pi s}{2} \, \varGamma(s) \, \beta(s) </math>
ただし、ここで {{math|''&Gamma;''}} はガンマ関数である。これによって、ディリクレベータ関数は複素数全体に解析接続されたこととなり、すべての複素数においての議論ができる。

== 特殊値 ==
ディリクレベータ関数に[[整数]]を代入したものをディリクレベータ関数の特殊値という。[[級数]]による定義において、たとえば {{math|''s'' {{=}} 1}} を代入すると、

: <math> \beta(1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots = \frac\pi4 </math>

のように値が求まり、これはよく知られた[[ライプニッツの公式]]と一致する。さらに、この他にも値を代入すれば、

:<math> \beta(0) = \frac12 </math>

:<math> \beta(1) = \frac\pi4 = 0.78539 \, 81633 \, 97448 \ldots </math>

:<math> \beta(2) = G = 0.91596 \, 55941 \, 77219 \ldots </math>

:<math> \beta(3) = \frac{\pi^3}{32} = 0.96894 \, 61462 \, 59369 \ldots </math>

:<math> \beta(4) = \frac{1}{768} \biggl[ \psi^{(3)} \! \biggl( \frac14 \biggr) - 8\pi^4 \biggr] = 0.98894 \, 45517 \, 41105 \ldots </math>

:<math> \beta(5) = \frac{5\pi^5}{1536} = 0.99615 \, 78280 \, 77088 \ldots </math>

:<math> \beta(7) = \frac{61\pi^7}{184320} = 0.99955 \, 45078 \, 90539 \ldots </math>

のように求まる。ただし、ここで {{math|''G''}} は[[カタランの定数]]、{{math|''&psi;''{{sup|(''n'')}}}} は[[ポリガンマ関数]]である。リーマンゼータ関数において、偶数に対する特殊値は[[レオンハルト・オイラー]]がバーゼル問題を解決するとともに一般化したが、奇数に対する値はよく知られていない。一方、ディリクレベータ関数は、奇数 {{math|2''n'' + 1}} に対して、

:<math> \beta(2n+1) = \frac{(-1)^n \, E_{2n} \, \pi^{2n+1}}{4^{n+1} \, (2n)!} </math>

が成り立つこと分かっている。ただし、ここで {{math|''E''{{sub|''n''}}}} は {{math|''n''}} 番目の[[オイラー数]]である。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
<references group="注釈"/>{{Reflist}}

* {{cite journal|last1=Blagouchine|first1=I. V.|year=2014|title=Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results|url=https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten's_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results|journal=Ramanujan J.|volume=35|issue=1|pages=21–110|doi=10.1007/s11139-013-9528-5}}
* {{cite journal|last1=Glasser|first1=M. L.|year=1972|title=The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures|journal=J. Math. Phys.|volume=14|issue=3|page=409|bibcode=1973JMP....14..409G|doi=10.1063/1.1666331}}
* J. Spanier and K. B. Oldham, ''An Atlas of Functions'', (1987) Hemisphere, New York.
* {{MathWorld|title=Dirichlet Beta Function|urlname=DirichletBetaFunction}}

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{{Math-stub}}
{{デフォルトソート:ていりくれへえたかんすう}}
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