ディリクレベータ関数

ディリクレベータ関数（ディリクレベータかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、数学におけるリーマンゼータ関数と密接な関係がある特殊関数である。名称はドイツの数学者であるペーター・グスタフ・ディリクレにちなむ。

定義

ディリクレベータ関数は、複素数テンプレート:Math と正の整数テンプレート:Math に対して、

β (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{s}} = 1 - \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} - \frac{1}{7^{s}} + \dots

で定義される関数テンプレート:Math である。上記の級数はテンプレート:Math の実部がテンプレート:Math より大きい場合、すなわちテンプレート:Math の場合にのみ収束するが、解析接続による操作を施すことによりすべての複素数で有効な値をもつ正則な有理型関数となる。ガンマ関数テンプレート:Math を用いれば、

β (s) = \frac{1}{𝛤 (s)} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x} x^{s - 1}}{1 + e^{- 2 x}} d x

リーマンゼータ関数の乗積表示であるオイラー積が示唆するように、リーマンゼータ関数の重要な性質のひとつは素数との関わりが深いことである。同じように、ディリクレベータ関数にも、素数全体を動く変数テンプレート:Math を用いた

β (s) = \prod_{p \equiv 1 mod 4} \frac{1}{1 - p^{- s}} \prod_{p \equiv 3 mod 4} \frac{1}{1 + p^{- s}}

という乗積表示が存在する。

ディリクレベータ関数は、任意の複素数テンプレート:Math に対して次のような関数方程式が存在する。

β (1 - s) = (\frac{2}{π})^{s} \sin \frac{π s}{2} 𝛤 (s) β (s)

ただし、ここでテンプレート:Math はガンマ関数である。これによって、ディリクレベータ関数は複素数全体に解析接続されたこととなり、すべての複素数においての議論ができる。

ディリクレベータ関数に整数を代入したものをディリクレベータ関数の特殊値という。級数による定義において、たとえばテンプレート:Math を代入すると、

β (1) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}

のように値が求まり、これはよく知られたライプニッツの公式と一致する。さらに、この他にも値を代入すれば、

β (0) = \frac{1}{2}

β (1) = \frac{π}{4} = 0.78539 81633 97448 \dots

β (2) = G = 0.91596 55941 77219 \dots

β (3) = \frac{π^{3}}{32} = 0.96894 61462 59369 \dots

β (4) = \frac{1}{768} [ψ^{(3)} (\frac{1}{4}) - 8 π^{4}] = 0.98894 45517 41105 \dots

β (5) = \frac{5 π^{5}}{1536} = 0.99615 78280 77088 \dots

β (7) = \frac{61 π^{7}}{184320} = 0.99955 45078 90539 \dots

のように求まる。ただし、ここでテンプレート:Math はカタランの定数、テンプレート:Math はポリガンマ関数である。リーマンゼータ関数において、偶数に対する特殊値はレオンハルト・オイラーがバーゼル問題を解決するとともに一般化したが、奇数に対する値はよく知られていない。一方、ディリクレベータ関数は、奇数テンプレート:Math に対して、

β (2 n + 1) = \frac{(- 1)^{n} E_{2 n} π^{2 n + 1}}{4^{n + 1} (2 n)!}

が成り立つこと分かっている。ただし、ここでテンプレート:Math はテンプレート:Math 番目のオイラー数である。