ディリクレ積分のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年2月}}
'''ディリクレ積分'''（ディリクレせきぶん、{{lang-en-short|Dirichlet integral}}）とは、[[広義積分]]
:<math>\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx</math>
のことである。これは {{pi}}/2 に[[収束]]することが知られている。これは[[絶対収束]]ではなく、[[ルベーグ積分]]では[[可積分系|可積分]]でない。ディリクレ積分の名は数学者[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]から取られている。

この項では、この事実を[[複素積分]]に立脚して[[証明 (数学)|証明]]する。

==証明==
[[File:Dirichlet積分.png|thumb|300px|ディリクレ積分]]
''f''(''z'') = ''e''<sup>''iz''</sup>/''z'' の[[積分法|積分]]を考える。0 < ''r'' < ''R'' をとり、図のように経路 ''C''<sub>''r''</sub>, ''C''<sub>''R''</sub> を定める（赤領域を左に見るように進む向きを正とする）。''f'' は赤領域で[[正則関数|正則]]であるから、[[コーシーの積分定理]]により
:<math>\int_{C_R}\frac{e^{iz}}{z}\,dz + \int_{-R}^{-r} \frac{e^{ix}}{x}\,dx
+ \int_{C_r} \frac{e^{iz}}{z}\,dz + \int_r^R \frac{e^{ix}}{x}\,dx = 0 \qquad \cdots(1)</math>
となる。

まず、左辺第2項と第4項は[[オイラーの公式]]により
:<math>\begin{align}\int_{-R}^{-r}\dfrac{e^{ix}}{x}dx+\int_r^R\dfrac{e^{ix}}{x}dx
&=-\int_{r}^{R}\dfrac{e^{-ix}}{x}dx+\int_r^R\dfrac{e^{ix}}{x}dx\\
&=2i\int_r^R\dfrac{\sin x}{x}dx.\ \ \cdots(2)
\end{align}</math>

次に<math>C_{R}</math>についての[[周回積分]]は<math>R\rightarrow\infty</math>でゼロとなることを示す。([[ジョルダンの補題]])

置換 <math>z=Re^{it}</math> により、
:<math>\begin{align}\left|\int_{C_R}f(z)\,dz\right|
&=\left|\int_0^{\pi}f(Re^{it})iRe^{it}dt\right|\\
&\le \int_0^\pi |f(Re^{it})| R \, dt
= \int_0^{\pi}e^{-R\sin t}dt
= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\sin t}dt\\
&\leq 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-2Rt/\pi}dt
\quad \left(\because\ \ t \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\ \Longrightarrow\ \dfrac{2}{\pi}t \leq \sin t\right)\\
&= \frac{\pi}{R}(1-e^{-R}) \to 0\quad (R \to \infty).\ \ \cdots(3)
\end{align}</math>

また、<math>C_{r}</math>についての[[周回積分]]は<math>r \to 0</math>で<math>-i \pi </math>となることを示す。（[[留数定理]]）

<math>z \neq 0</math> のとき、[[指数関数]] <math>e^z</math> の[[定義]]により、
:<math>\frac{e^{iz}}{z}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iz)^n}{n!}
=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{i^n}{n!}z^{n-1}.</math>
<math>g(z):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n!}z^{n-1}</math> とおくと、
:<math>\int_{C_r}\dfrac{e^{iz}}{z}dz=\int_{C_r}\dfrac{1}{z}dz+\int_{C_r}g(z)dz.</math>
ここで、置換 <math>z=re^{it}</math> により、
:<math>\int_{C_r}\dfrac{1}{z}dz=\int_{\pi}^0\dfrac{1}{re^{it}}ire^{it}dt=i\int_{\pi}^0dt=-i\pi.</math>
次に、 <math>\int_{C_r}g(z)dz \to 0\ \ (r \to 0)</math> を示そう。''g'' は[[整関数]]、とくに[[コンパクト空間|コンパクト集合]] <math>K:=\{z\ ;\ |z| \leq 1\}</math> で[[連続 (数学)|連続]]だから、[[最大値最小値定理|ワイエルシュトラスの最大値定理]]を使うと、
:<math>{}^{\exists}M>0,\ {}^{\forall}z \in K\ ;\ |g(z)| \leq M.</math>
<math>r</math> を十分小さくとれば、経路 <math>C_r</math> （の[[像 (数学)|像]]）は ''K'' に含まれるから、
:<math>\left|\int_{C_r}g(z)dz\right| \leq \int_{C_r}|g(z)||dz| \leq M\int_{C_r}|dz|=M\pi r \to 0\ \ (r \to 0).\ \ \cdots(4)</math>

以上より、(1) において <math>r \to 0,\ R \to \infty</math> とすれば、(2)～(4)より
:<math>0+2i\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx-i\pi=0</math>
すなわち
:<math>\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}</math>
が従う。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Cite book
 | 和書
 | last1 = 高橋
 | first1 = 礼司
 | year = 1990
 | title = 複素解析
 | series = 基礎数学8
 | publisher = [[東京大学出版会]]
 | isbn = 978-4-13-062106-9
 | ref = harv
}}

{{デフォルトソート:ていりくれせきふん}}
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