ディリクレ積分

テンプレート:出典の明記 ディリクレ積分（ディリクレせきぶん、テンプレート:Lang-en-short）とは、広義積分

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx$

のことである。これは テンプレート:Pi/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分では可積分でない。ディリクレ積分の名は数学者ペーター・グスタフ・ディリクレから取られている。

この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。

証明

ディリクレ積分

f(z) = e^iz/z の積分を考える。0 < r < R をとり、図のように経路 C_r, C_R を定める（赤領域を左に見るように進む向きを正とする）。f は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により

$\underset{C_R}{\int }\frac{e^{iz}}{z}dz+\underset{-R}{\overset{-r}{\int }}\frac{e^{ix}}{x}dx+\underset{C_r}{\int }\frac{e^{iz}}{z}dz+\underset{r}{\overset{R}{\int }}\frac{e^{ix}}{x}dx=0\cdots (1)$

となる。

まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により

$\begin{array}{cc}\underset{-R}{\overset{-r}{\int }}\frac{e^{ix}}{x}dx+\underset{r}{\overset{R}{\int }}\frac{e^{ix}}{x}dx& =-\underset{r}{\overset{R}{\int }}\frac{e^{-ix}}{x}dx+\underset{r}{\overset{R}{\int }}\frac{e^{ix}}{x}dx\\ & =2i\underset{r}{\overset{R}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx.\cdots (2)\end{array}$

次に$C_R$についての周回積分は$R\to \mathrm{\infty }$でゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題)

置換 $z=R{e}^{it}$ により、

$\begin{array}{cc}|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|& =|\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(R{e}^{it})iR{e}^{it}dt|\\ & \le \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|f(R{e}^{it})|Rdt=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-R\sin t}dt=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-R\sin t}dt\\ & \le 2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-2Rt/\pi }dt(\because t\in [0,\frac{\pi }{2}]⟹\frac{2}{\pi }t\le \sin t)\\ & =\frac{\pi }{R}(1-e^{-R})\to 0(R\to \mathrm{\infty }).\cdots (3)\end{array}$

また、$C_r$についての周回積分は$r\to 0$で$-i\pi$となることを示す。（留数定理）

$z\ne 0$ のとき、指数関数 $e^z$ の定義により、

$\frac{e^{iz}}{z}=\frac{1}{z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(iz{)}^n}{n!}=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n}{n!}{z}^{n-1}.$

$g(z):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n}{n!}{z}^{n-1}$ とおくと、

$\underset{C_r}{\int }\frac{e^{iz}}{z}dz=\underset{C_r}{\int }\frac{1}{z}dz+\underset{C_r}{\int }g(z)dz.$

ここで、置換 $z=r{e}^{it}$ により、

$\underset{C_r}{\int }\frac{1}{z}dz=\underset{\pi }{\overset{0}{\int }}\frac{1}{r{e}^{it}}ir{e}^{it}dt=i\underset{\pi }{\overset{0}{\int }}dt=-i\pi .$

次に、 $\underset{C_r}{\int }g(z)dz\to 0(r\to 0)$ を示そう。g は整関数、とくにコンパクト集合 $K:=\{z;|z|\le 1\}$ で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、

${}^{\mathrm{\exists }}M>0,{}^{\mathrm{\forall }}z\in K;|g(z)|\le M.$

$r$ を十分小さくとれば、経路 $C_r$ （の像）は K に含まれるから、

$|\underset{C_r}{\int }g(z)dz|\le \underset{C_r}{\int }|g(z)||dz|\le M\underset{C_r}{\int }|dz|=M\pi r\to 0(r\to 0).\cdots (4)$

以上より、(1) において $r\to 0,R\to \mathrm{\infty }$ とすれば、(2)～(4)より

$0+2i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx-i\pi =0$

すなわち

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

が従う。

参考文献

• テンプレート:Cite book