ディリクレ級数のソースを表示

{{No footnotes|date=2019年9月}}
'''ディリクレ級数'''（ディリクレきゅうすう、{{lang-en-short|Dirichlet series}}）とは、[[複素数]]列 <math>\scriptstyle\{a_n\}_{n\ge 0}</math> および複素数 ''s'' に対して、
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
で表される[[級数]]のことをいう。[[一般ディリクレ級数]]と区別するため、'''通常ディリクレ級数''' (ordinary Dirichlet series)ともいう。
1839年、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]が[[算術級数定理]]を証明する際に考察されたことに因み、彼の名が付けられている。

[[リーマンゼータ関数]]や[[L関数|ディリクレのL関数]]はディリクレ級数のなかで、よく知られているものの１つである。

''s'' を変数とみなし、ディリクレ級数の収束性を問わないとき、'''形式的ディリクレ級数''' (formal Dirichlet series)という。

[[セルバーグクラス]]であるディリクレ級数は、[[リーマン予想]]に従うことが予想されている。

== 収束性 ==
=== 収束軸 ===
任意のディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
# 任意の複素数 ''s'' に対して、ディリクレ級数は[[収束級数|収束]]する。
# 任意の複素数 ''s'' に対して、ディリクレ級数は[[発散級数|発散]]する。
# ディリクレ級数が''s''の[[複素数#定義|実部]]{{math2|Re(''s'')}}<math>> \sigma_c</math> を満たす複素数 ''s'' に対して収束し、{{math2|Re(''s'')}}<math> < \sigma_c</math> を満たす複素数 ''s'' に対して発散する様な[[実数]] <math>\scriptstyle\sigma_c</math> が存在する。


この <math>\scriptstyle\sigma_c</math> をディリクレ級数の'''収束軸''' (line of convergence)または'''収束座標''' (abscissa of convergence)という。
収束軸について、ディリクレ級数が常に収束するときは <math>\scriptstyle-\infty</math>、常に発散する場合は <math>\scriptstyle+\infty</math> と定める。


注意1: 収束軸は、負の実数にもなり得る。
例えば
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{-2}}{n^s}
</math>}}
の収束軸は -1 である。


注意2: 収束軸上の点の収束・発散は、ディリクレ級数によって異なる。
* リーマンゼータ関数 <math>\zeta(s)</math> の収束軸は 1 であるが、<math>s=1</math> では発散する。
* ディリクレ級数
:: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{[\log^2n]}/\log n}{n^s}</math>
: の収束軸は 1 であり、{{math2|Re(''s'')}}<math>=1</math> を満たす複素数 ''s'' に対して収束する。


収束軸の値の求め方

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
の収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> の値は、以下の様に求められる。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k</math> が発散する場合
*: <math>\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log |s_n|}{\log n}</math> 。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k</math> が収束する場合
*: <math>\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_n + a_{n+1} + \cdots|}{\log n}</math> 。

=== 絶対収束性 ===
一般の級数のときと同じく、
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}{n^s}
</math>}}
が収束するとき、ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
は[[絶対収束]]するという。


例えば、[[冪級数|ベキ級数]]のとき、収束円周上の点を除いて、収束すればその点で絶対収束するが、
ディリクレ級数の場合、収束しても絶対収束するとは限らない。以下のことが成り立つからである。


収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> が有限の値であるディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
に対して、
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}{n^s}
</math>}}
の収束軸を、<math>\scriptstyle\sigma_a</math> とおくと、<math>\scriptstyle 0 \le \sigma_a - \sigma_c\le 1</math> が成立する。

さらに、上記右辺の 1 は最良である。つまり、<math>\scriptstyle\sigma_a = \sigma_c + 1</math> を満たすディリクレ級数が存在する。 

この <math>\scriptstyle\sigma_a</math> を、'''絶対収束軸''' (line of absolute convergence)または'''絶対収束座標''' (abscissa of absolute convergence)という。


絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
の絶対収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_a</math> の値は、以下の様に求められる。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|</math> が発散する場合
*: <math>\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log s_n}{\log n}</math> 。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|</math> が収束する場合
*: <math>\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots)}{\log n}</math> 。

=== 一様収束性 ===
ディリクレ級数を
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
として、''s'' を変数とする[[関数 (数学)|関数]]とみなすと、<math>f(s)</math> の[[一様収束]]性が問題となる。


ディリクレ級数の一様収束性について、以下のことが成立する。

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
の収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> は有限の値とし、絶対収束軸を <math>\scriptstyle\sigma_a</math> <ref>このとき、絶対収束軸は有限の値である。[[ディリクレ級数#絶対収束性|ディリクレ級数の絶対収束性]]を参照のこと。</ref>とする。
このとき、
{{Indent|<math>
\sigma_c\le\sigma_u\le\sigma_a
</math>}}
を満たす実数 <math>\scriptstyle\sigma_u</math> が存在して、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>\sigma_u</math> を満たす複素数 ''s'' に対して、<math>f(s)</math> は一様収束するが、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_u</math> を満たす複素数 ''s'' に対して、<math>f(s)</math> は一様収束しない。　

この <math>\scriptstyle\sigma_u</math> を、'''一様収束軸''' (line of uniform convergence)または'''一様収束座標''' (abscissa of uniform convergence)という。


一様収束軸と収束軸との間には、<math>\scriptstyle 0 \le \sigma_u - \sigma_c\le 1/2</math> が成立し、右辺の 1/2 は最良であることが知られている。


一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
の一様収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_u</math> の値は、以下の様に求められる。
{{Indent|<math>
\sigma_u = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log T_n}{\log n}
</math> 。}}
ここで、
{{Indent|<math>
T_n = \!\!\!\!\sup_{-\infty<t<\infty}\left|\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^{it}}\right|
</math> 。}}

== 代数的性質 ==
2つの形式的ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s},\ \ \ \ \ g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{n^s}
</math>}}
の和を、
{{Indent|<math>
f(s) + g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n + b_n}{n^s},
</math>}}
積('''畳み込み''' (faltung、convolution)または'''ディリクレ積''' (Dirichlet product)という)を、
{{Indent|<math>
f(s)g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_n}{n^s},\ \ \ \ \ c_n = \!\!\!\sum_{k|n,\ k\ge 1}\!\!\!a_kb_{n/k}
</math>}}
と定めると<ref>積の定義が不自然と思うかもしれないが、無限級数 <math>\scriptstyle f(s),\ g(s)</math> の各項どうしを掛け、<math>n^{-s}</math> の項でまとめたのが、<math>c_n</math> であるので、積の定義は自然なものである。</ref>、係数が環 ''R'' の元からなるディリクレ級数全体は[[環 (数学)|環]]を成す。もし、環 ''R'' が[[可換]]であれば、ディリクレ級数環も可換である。


上で述べたことは、形式的ディリクレ級数についての議論であったので、収束性については考えていないが、
ある複素数 &alpha; に対して、<math>\scriptstyle f(\alpha),\ g(\alpha)</math> が収束している場合、
上記の和、積で与えられたディリクレ級数が、<math>s = \alpha</math> で収束するかを考えてみることにする。
和については、ディリクレ級数 <math>\scriptstyle f(s) + g(s)</math> が <math>s = \alpha</math> で収束することは成り立つが、積については、ディリクレ級数 <math>\scriptstyle f(s)g(s)</math> は、必ずしも <math>s = \alpha</math> で収束しない。

例えば、2つのディリクレ級数を
{{Indent|<math>
f(s) = g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}
</math>}}
とおくと、それぞれ、収束軸は 0 であるが、ディリクレ級数 <math>h(s) = f(s)g(s)</math> の収束軸は 1 である。
従って、<math>\scriptstyle f(1/2),\ g(1/2)</math> はそれぞれ収束するが、<math>h(1/2)</math> は収束しない。


さらに、<math>\scriptstyle f(s),\ g(s)</math> の収束軸が分かっていても、<math>f(s)g(s)</math> の収束軸が不明な場合もある。

== 解析的性質 ==
=== 正則性 ===
ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
は、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma</math> で収束するならば、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma</math> で[[正則関数|正則]]である。さらに、<math>f(s)</math> の[[微分]]は
{{Indent|<math>
f^{(k)}(s) = (-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n\log^k n}{n^s}
</math>}}
で与えられる。


=== ディリクレ級数の解析接続 ===
ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
に対して、<math>g(t)</math> を
{{Indent|<math>
g(t) = \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-nt}
</math>}}
で定める。

<math>g(t)</math> の <math>\scriptstyle t\to 0</math> での[[漸近展開]]として、
{{Indent|<math>
g(t) \sim b_0 + b_1t + b_2t^2 + \cdots
</math>}}
を持つ場合、<math>f(s)</math> は全平面に正則に[[解析接続]]される。

さらに <math>g(t)</math> の <math>\scriptstyle t\to 0</math> での漸近展開として、
{{Indent|<math>
g(t) \sim b_{-1}/t + b_0 + b_1t+ b_2t^2 + \cdots
</math>}}
を持つのであれば、<math>f(s)</math> は[[有理型関数|有理型]]に接続され、<math>\scriptstyle f(s) - b_{-1}/(s-1)\!</math> は[[整関数]]である。


さらに、<math>\scriptstyle n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots</math> に対して、
{{Indent|<math>
f(-n) = (-1)^n n! b_n
\!</math>}}
が成り立つ。


=== ディリクレ級数の一意性 ===
2つのディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s},\ \ \ \ \ g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{n^s}
</math>}}
が、ある開領域内で収束し、そこで、<math>f(s) = g(s)</math> が成立するならば、すべての ''n'' に対して、<math>a_n = b_n</math> である。


=== ディリクレ級数の係数の平均 ===
ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
に対して、
{{Indent|<math>
\lim_{x\to\infty}a_n = \alpha
</math>}}
であるならば、<math>f(s)</math> は、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s >1</math> で収束して、
{{Indent|<math>
\lim_{s\to1+0}(s-1)f(s) = \alpha
</math>}}
が成立する。即ち、<math>f(s)</math> は、<math>s=1</math> で1位の[[特異点|極]]を持ち、[[留数]]は &alpha; である。

逆に、上記ディリクレ級数の係数が非負の実数であり、収束軸が 1 で、<math>s=1</math> を除いて、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s = 1</math> の近傍まで正則に解析接続できるとする。また <math>s=1</math> で1位の極とし、留数を &alpha; とすると、
{{Indent|<math>
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sum_{n\le x}a_n = \alpha
</math>}}
が成り立つ。


=== ディリクレ級数の積分表示 ===
(1) メリン変換

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
に対して、ベキ級数 <math>F(z)</math> を
{{Indent|<math>
F(z) = \sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n
</math>}}
で定める。

このとき、<math>f(s)</math> が絶対収束する領域内で
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}F(e^{-t})t^{s-1}dt
</math>}}
が成立する。これを'''メリン変換''' (Mellin transform)という。

この変換を用いて、ディリクレ級数の性質をベキ級数を用いて考察したり、その逆でベキ級数の性質をディリクレ級数から求めたりすることができる。


(2) フラッグマンによる積分表示

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
に対して、<math>\scriptstyle A(x) = \sum_{n\le x}a_n</math> とおく。
もし
{{Indent|<math>
\lim_{x\to\infty}\frac{A(x)}{x^s} = 0 
</math>}}
であるならば
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} = s\int_1^{\infty}\frac{A(x)}{x^{1+s}}dx
</math> 。}}
但し、両辺のうち、少なくとも一方は収束しているとする。


(3) ラプラス＝スティルチェス変換

ディリクレ級数に対して、[[ラプラス＝スティルチェス変換]]を行うことにより、以下の様な積分表示が得られる。

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
に対して、<math>\scriptstyle B(t) = \sum_{n\le e^t}a_n</math> とおく。このとき
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} = \int_0^{\infty}e^{-ts}dB(t)
</math> 。}}


== 数論的関数の母関数 ==
=== オイラー積 ===
[[数論的関数]] <math>a(n)</math> を係数とするディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s}
</math>}}
を、 <math>a(n)</math> の(ディリクレ級数で表された)'''母関数'''という。

数論的関数 <math>a(n)</math> の数論的性質が母関数の性質から導かれることがしばしばあり、母関数は、数学の対象として大変重要なものである。([[母関数]]も参照のこと)

特に、[[数論的関数#乗法的関数|乗法的関数]]である数論的関数に対して、母関数をディリクレ級数の形で表すことが多い。
それは、母関数が以下で述べるオイラー積表示を持つからである。


<math>a(n)</math> を乗法的関数である数論的関数としたとき、
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s}
</math>}}
は、以下の積表示を持つ。
{{Indent|<math>
f(s) = \!\!\prod_{p;\operatorname{prime}}\left(1+\frac{a(p)}{p^s}+\frac{a(p^2)}{p^{2s}}+\cdots \right)
</math> 。}}

この積を'''[[オイラー積]]''' (Euler product)という。

逆に、ある数論的関数 <math>a(n)</math> の母関数がオイラー積表示を持つならば、 <math>a(n)</math> は乗法的関数である。

さらに、<math>a(n)</math> が[[数論的関数#乗法的関数|完全乗法的関数]]であれば、オイラー積は
{{Indent|<math>
f(s) = \!\!\prod_{p;\operatorname{prime}}\frac{1}{1-a(p)/p^s}
</math>}}
と表される。

=== 例 ===
数論的関数に対する母関数の例を与える。

(1)<math>a(n) = 1</math> <math>\scriptstyle (n = 1,\ 2,\ldots)</math> の母関数は、リーマンゼータ関数に等しい。
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s)
</math>}}


(2) [[メビウス関数]] <math>\mu(n)</math>
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}
</math>}}

 
(3) [[オイラー関数]] <math>\varphi(n)</math>
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}
</math>}}


(4) [[約数関数]] <math>d(n)</math>
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)}{n^s} = \zeta(s)^2
</math>}}
 

(5) ''k''乗[[約数関数|約数和関数]] <math>\sigma_k(n)</math> <math>\scriptstyle (k\ge 1)</math>
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_k(n)}{n^s} = \zeta(s)\zeta(s-k)
</math>}}

== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2019年9月|section=1}}
* {{Cite book|和書|last=ザギヤー|first=D. B.|translator=片山孝次|year=1990|title=数論入門|publisher=[[岩波書店]]|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=森田|first=康夫|year=1999|title=整数論|publisher=[[東京大学出版会]]|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=ナルキェヴィッチ|first=W.|translator=中嶋眞澄|year=2008|title=素数定理の進展 上|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|location=東京}}

== 関連項目 ==
* [[級数]]
* [[冪級数]]
* [[L関数]]
* [[リーマンゼータ関数]]

{{Math-stub}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:ていりくれきゆうすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:関数]]
[[Category:ペーター・グスタフ・ディリクレ]]
[[Category:数学に関する記事]]