デ・フィネッティの定理のソースを表示

{{翻訳中途|1=[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=De_Finetti%27s_theorem&oldid=723136195 De Finetti's theorem 2016年6月1日 (水) 06:43]|date=2016-10-16}}
'''デ・フィネッティの定理'''（{{lang-en-short|de Finetti's theorem}}）または'''デ・フィネッティの表現定理'''（{{lang-en-short|de Finetti's representation theorem}}）とは[[確率論]]における[[定理]]であり、ある[[潜在変数]]に対し[[ベイズ確率|認識論的]]な[[確率分布]]が与えられたという条件の下で、{{仮リンク|交換可能な確率変数|label=交換可能|en|exchangeable random variables}}な観測値は[[条件付き独立]]であるということを述べる。定理の名前は発見者の一人である[[ブルーノ・デ・フィネッティ]]に因む。

交換可能な[[ベルヌーイ過程|ベルヌーイ変数]]の列の特別な場合として、[[独立同分布]] (i.i.d.) なベルヌーイ列の「混合」した列がある。交換可能な列の個々の確率変数はそれら自身では i.i.d. ではなく、交換可能なだけだが、その根底には i.i.d. な確率変数の族が存在する。

したがって、列が交換可能であるために観測値が i.i.d. である必要はないが、その背景には一般には観測可能でない i.i.d. である量が存在する。交換可能な列は i.i.d. な列の混合であり、それは必ずしも i.i.d. ではない。

== 背景 ==
[[ベイズ主義]]の統計学者はしばしば与えられたデータを条件とした[[確率変数]]の条件付き確率分布を求める。確率変数の{{仮リンク|交換可能な確率変数|label=交換可能性|en|exchangeable random variables}}はデ・フィネッティによって導入された。デ・フィネッティの定理は独立性と交換可能性の間の数学的関係を説明する<ref>参考: [http://www.stats.ox.ac.uk/~steffen/teaching/grad/definetti.pdf Steffen Lauritzen によるオックスフォード大の講義ノート (pdf)]。</ref>。

確率変数 {{mvar|X}} の無限列

:<math>X_1, X_2, X_3, \dots \!</math>

が'''交換可能''' {{en|(exchangeable)}} であるとは、任意の順序に置換した2つの有限の確率変数列 {{math|{{mset|''X''<sub>''i''<sub>1</sub></sub>, ..., ''X<sub>i<sub>n</sub></sub>''}}, {{mset|''X''<sub>''j''<sub>1</sub></sub>, ..., ''X<sub>j<sub>n</sub></sub>''}}}} がいずれも同じ[[同時分布|結合分布]]に従うことをいう。つまり、{{mvar|n}} を任意の有限な[[基数]]とし、{{math|''i''<sub>&middot;</sub>}} 同士で互いに異なる有限列 {{math|''i''<sub>1</sub>, ''i''<sub>2</sub>, ..., ''i<sub>n</sub>''}} および {{mvar|j}} 同士で互いに異なる {{math|''j''<sub>1</sub>, ''j''<sub>2</sub>, ..., ''j<sub>n</sub>''}} を用意したとき、2つの確率変数の列

:<math>\left\{X_{i_1},\dots,X_{i_n}\right\},\, \left\{X_{j_1},\dots,X_{j_n}\right\} \!</math>

が同一の結合分布に従う場合、確率変数 {{mvar|X}} は交換可能である。

同分布な列が[[独立 (確率論)|独立]]であるならば、その列は交換可能である。しかしながら、その逆は成り立たない。交換可能だが独立でない確率変数の例として{{仮リンク|ポリアの壺モデル|en|Polya urn model}}が挙げられる。

== 定式化 ==
[[確率変数]] {{mvar|X}} は[[ベルヌーイ分布]]に従い、その[[確率分布]]は[[実数]] {{math|1=''p''&isin; (0, 1)}} を用いて {{math|1=Pr(''X'' = 1) = ''p''}}, {{math|1=Pr(''X'' = 0) = 1 &minus; ''p''}} と表すことができる。

デ・フィネッティの定理は次のことを述べる：{{仮リンク|交換可能な確率変数|label=交換可能|en|exchangeable random variables}}な任意の[[ベルヌーイ過程|ベルヌーイ変数]]の無限列に対する確率分布は[[独立同分布]] (i.i.d.) なベルヌーイ変数の[[列 (数学)|列]]の分布の混合分布であることを示す。混合とはこの場合、[[加重平均]]であることを意味する。ただし、有限であったり可算無限である（つまり離散的である）必要はなく、この加重平均は一般に[[積分]]として与えられる。

より正確には、次のように述べることができる。{{math|1=''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}} をベルヌーイ分布に従う確率変数 {{mvar|X}} の交換可能な無限列であるとする。また、区間 {{math|[0, 1]}} 上の確率分布 {{mvar|m}} と {{mvar|m}} に従う確率変数 {{mvar|Y}} があるとする。ベルヌーイ列 {{math|1=''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}} の全体の、与えられた {{mvar|Y}} の下での[[条件付き確率分布]]は次のような性質を持つ。
* {{math|1=''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}} は与えられた {{mvar|Y}} の下で{{仮リンク|条件付き独立性|label=条件付き独立|en|conditional independence}}であり、
* 任意の {{math|1=''i'' &isin; {{mset|1, 2, ...}}}} について、与えられた {{mvar|Y}} の下での {{math|1=''X<sub>i</sub>'' = 1}} の条件付き確率は {{mvar|Y}} に等しい。

=== 他の定式化 ===
{{math|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}} をベルヌーイ変数の交換可能な無限列とする。このときベルヌーイ列 {{math|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}} は与えられた交換可能な（つまり、 {{math|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}} に関して可測であり、添え字の有限の[[置換 (数学)|置換]]に対して不変な事象の）[[完全加法族]]の下で条件付き独立同分布である。
<!-- 
== Example == 
--><!--
Here is a concrete example.  Suppose ''p'' = 2/3 with probability 1/2 and ''p'' = 9/10 with probability 1/2.  Suppose the conditional distribution of the sequence

:<math>X_1, X_2, X_3, \dots \!</math>

given the event that ''p'' = 2/3, is described by saying that they are independent and identically distributed and ''X''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;1 with probability 2/3 and ''X''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;0 with probability 1&nbsp;&minus;&nbsp;(2/3).  Further, the conditional distribution of the same sequence given the event that ''p''&nbsp;=&nbsp;9/10, is described by saying that they are independent and identically distributed and ''X''<sub>1</sub> = 1 with probability 9/10 and ''X''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;0 with probability 1&nbsp;&minus;&nbsp;(9/10).  The independence asserted here is ''conditional'' independence, i.e., the Bernoulli random variables in the sequence are conditionally independent given the event that ''p''&nbsp;=&nbsp;2/3, and are conditionally independent given the event that ''p''&nbsp;=&nbsp;9/10.  But they are not unconditionally independent; they are positively [[correlation|correlated]].  In view of the [[law of large numbers|strong law of large numbers]], we can say that

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} = \begin{cases}
2/3 & \text{with probability }1/2, \\
9/10 & \text{with probability }1/2.
\end{cases} </math>
--><!--
Rather than concentrating probability 1/2 at each of two points between 0 and 1, the "mixing distribution" can be any [[probability distribution]] supported on the interval from 0 to 1; which one it is depends on the joint distribution of the infinite sequence of Bernoulli random variables.
--><!--
The conclusion of the first version of the theorem above makes sense if the sequence of exchangeable Bernoulli random variables is finite, but the theorem is not generally true in that case.  It is true if the sequence can be extended to an exchangeable sequence that is infinitely long.  The simplest example of an exchangeable sequence of Bernoulli random variables that cannot be so extended is the one in which ''X''<sub>1</sub> = 1&nbsp;&minus;&nbsp;''X''<sub>2</sub> and ''X''<sub>1</sub> is either 0 or 1, each with probability 1/2.  This sequence is exchangeable, but cannot be extended to an exchangeable sequence of length 3, let alone an infinitely long one.
-->

== 拡張 ==
デ・フィネッティの定理の有限な列への拡張{{sfn|Diaconis|Freedman|1980-8}}{{sfn|Szekely|Kerns|2006}}が [[パーシ・ダイアコニス|Diaconis]] と Freedman らおよび Kerns と Szekely らによって、[[マルコフ連鎖]]への拡張が同じく Diaconis と Freedman によって与えられた{{sfn|Diaconis|Freedman|1980-2}}。

配列の部分交換性に関する2つの概念、'''分割交換可能性'''{{訳語疑問点|date=2016-10-16}} {{en|(separate exchangeability)}} と'''結合交換可能性'''{{訳語疑問点|date=2016-10-16}}  {{en|(joint exchangeability)}} から、配列に対するデ・フィネッティの定理の拡張が Aldous と Hoover らによって与えられている{{sfn|Diaconis|Janson|2008}}。
<!--
Two notions of partial exchangeability of arrays, known as ''separate'' and ''joint exchangeability'' lead to extensions of de&nbsp;Finetti's theorem for arrays by Aldous and Hoover.{{sfn|Diaconis|Janson|2008}}
--><!--
The computable de&nbsp;Finetti theorem shows that if an exchangeable sequence of real random variables is given by a computer program, then a program which samples from the mixing measure can be automatically recovered.{{sfn|Freer|Roy|2009}}

In the setting of [[free probability]], there is a noncommutative extension of de Finetti's theorem which characterizes noncommutative sequences invariant under quantum permutations.{{sfn|Köstler|Speicher|2009}}
-->

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ショケ理論|en|Choquet theory}}
* {{仮リンク|ヒューイット・サヴェジの0-1法則|en|Hewitt–Savage zero–one law}}
* [[クレイン＝ミルマンの定理]]

== 出典 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal|first=P. |last=Diaconis |authorlink=パーシ・ダイアコニス |first2=D. |last2=Freedman |authorlink2=David A. Freedman (statistician) |title=Finite exchangeable sequences |journal=Annals of Probability |volume=8 |issue=4 |year=1980-8 |date=1980-8|pages=745&ndash;764 |doi=10.1214/aop/1176994663 |mr=577313 | zbl = 0434.60034|ref=harv}}
* {{cite journal|first=G.&nbsp;J. |last=Szekely |authorlink=Gabor J Szekely |first2= J.&nbsp;G. |last2=Kerns  |title=De&nbsp;Finetti’s theorem for abstract finite exchangeable sequences |journal=Journal of Theoretical Probability |volume=19 |issue=3 |year=2006 |pages=745&ndash;589–608 |doi=10.1007/s10959-006-0028-z|ref=harv}}
* {{cite journal|first=P. |last=Diaconis |authorlink=パーシ・ダイアコニス |first2=D. |last2=Freedman |authorlink2=David A. Freedman (statistician) |title=De&nbsp;Finetti's theorem for Markov chains |journal=Annals of Probability |volume=8 |issue=1 |year=1980-2 |date=1980-2|pages=115&ndash;130 |doi=10.1214/aop/1176994828 |mr=556418| zbl=0426.60064|ref=harv}}
* {{cite journal|first=P. |last=Diaconis |authorlink= パーシ・ダイアコニス |first2=Svante |last2=Janson|authorlink2=Svante Janson|year=2008|title= Graph Limits and Exchangeable Random Graphs|journal=Rendiconti di&nbsp;Matematica Serie VII|volume=28|issue=1|pages=33–61|arxiv=0712.2749|ref=harv}}
<!--
* {{cite journal|first=C.|last=Freer|authorlink=Cameron Freer|first2=D.|last2=Roy|authorlink2=Daniel Roy|year=2009|title=Computable exchangeable sequences have computable de&nbsp;Finetti measures|journal=Mathematical Theory and Computational Practice |series=Lecture Notes In Computer Science|volume=5635|pages=218&ndash;231|doi=10.1007/978-3-642-03073-4_23|url=http://math.mit.edu/~freer/papers/FreerRoyCiE2009.pdf|ref=harv}}
* {{cite journal |first=Claus |last=Köstler |authorlink=Claus Köstler |first2=Roland |last2=Speicher |authorlink2=Roland Speicher |year=2009 |title=A noncommutative de&nbsp;Finetti theorem: Invariance under quantum permutations is equivalent to freeness with amalgamation |journal=Commun. Math. Phys. |volume=291 |pages=473&ndash;490 |arxiv=0807.0677|doi=10.1007/s00220-009-0802-8|ref=harv}}
-->

== 外部リンク ==
*{{SpringerEOM|id=De_Finetti_theorem|first=L.|last= Accardi|title=De Finetti theorem}}
*[http://stats.stackexchange.com/questions/34465/what-is-so-cool-about-de-finettis-representation-theorem ''What is so cool about De Finetti's representation theorem?'' - Stack Exchange]

{{確率論}}

{{デフォルトソート:てふいねつていのていり}}
[[Category:確率論の定理]]
[[Category:ベイズ統計]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]