デ・フィネッティの定理
テンプレート:翻訳中途 デ・フィネッティの定理（テンプレート:Lang-en-short）またはデ・フィネッティの表現定理（テンプレート:Lang-en-short）とは確率論における定理であり、ある潜在変数に対し認識論的な確率分布が与えられたという条件の下で、テンプレート:仮リンクな観測値は条件付き独立であるということを述べる。定理の名前は発見者の一人であるブルーノ・デ・フィネッティに因む。
交換可能なベルヌーイ変数の列の特別な場合として、独立同分布 (i.i.d.) なベルヌーイ列の「混合」した列がある。交換可能な列の個々の確率変数はそれら自身では i.i.d. ではなく、交換可能なだけだが、その根底には i.i.d. な確率変数の族が存在する。
したがって、列が交換可能であるために観測値が i.i.d. である必要はないが、その背景には一般には観測可能でない i.i.d. である量が存在する。交換可能な列は i.i.d. な列の混合であり、それは必ずしも i.i.d. ではない。
背景
ベイズ主義の統計学者はしばしば与えられたデータを条件とした確率変数の条件付き確率分布を求める。確率変数のテンプレート:仮リンクはデ・フィネッティによって導入された。デ・フィネッティの定理は独立性と交換可能性の間の数学的関係を説明する[1]。
確率変数 テンプレート:Mvar の無限列
が交換可能 テンプレート:En であるとは、任意の順序に置換した2つの有限の確率変数列 テンプレート:Math がいずれも同じ結合分布に従うことをいう。つまり、テンプレート:Mvar を任意の有限な基数とし、テンプレート:Math 同士で互いに異なる有限列 テンプレート:Math および テンプレート:Mvar 同士で互いに異なる テンプレート:Math を用意したとき、2つの確率変数の列
が同一の結合分布に従う場合、確率変数 テンプレート:Mvar は交換可能である。
同分布な列が独立であるならば、その列は交換可能である。しかしながら、その逆は成り立たない。交換可能だが独立でない確率変数の例としてテンプレート:仮リンクが挙げられる。
定式化
確率変数 テンプレート:Mvar はベルヌーイ分布に従い、その確率分布は実数 テンプレート:Math を用いて テンプレート:Math, テンプレート:Math と表すことができる。
デ・フィネッティの定理は次のことを述べる：テンプレート:仮リンクな任意のベルヌーイ変数の無限列に対する確率分布は独立同分布 (i.i.d.) なベルヌーイ変数の列の分布の混合分布であることを示す。混合とはこの場合、加重平均であることを意味する。ただし、有限であったり可算無限である（つまり離散的である）必要はなく、この加重平均は一般に積分として与えられる。
より正確には、次のように述べることができる。テンプレート:Math をベルヌーイ分布に従う確率変数 テンプレート:Mvar の交換可能な無限列であるとする。また、区間 テンプレート:Math 上の確率分布 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に従う確率変数 テンプレート:Mvar があるとする。ベルヌーイ列 テンプレート:Math の全体の、与えられた テンプレート:Mvar の下での条件付き確率分布は次のような性質を持つ。
- テンプレート:Math は与えられた テンプレート:Mvar の下でテンプレート:仮リンクであり、
- 任意の テンプレート:Math について、与えられた テンプレート:Mvar の下での テンプレート:Math の条件付き確率は テンプレート:Mvar に等しい。
他の定式化
テンプレート:Math をベルヌーイ変数の交換可能な無限列とする。このときベルヌーイ列 テンプレート:Math は与えられた交換可能な（つまり、 テンプレート:Math に関して可測であり、添え字の有限の置換に対して不変な事象の）完全加法族の下で条件付き独立同分布である。
拡張
デ・フィネッティの定理の有限な列への拡張テンプレート:Sfnテンプレート:Sfnが Diaconis と Freedman らおよび Kerns と Szekely らによって、マルコフ連鎖への拡張が同じく Diaconis と Freedman によって与えられたテンプレート:Sfn。
配列の部分交換性に関する2つの概念、分割交換可能性テンプレート:訳語疑問点 テンプレート:En と結合交換可能性テンプレート:訳語疑問点 テンプレート:En から、配列に対するデ・フィネッティの定理の拡張が Aldous と Hoover らによって与えられているテンプレート:Sfn。