トゥシャール多項式のソースを表示

{{for|トゥシャール多項式と時折呼ばれることもあるが異なる多項式の族 Q<sub>n</sub>|ベイトマン多項式}}

[[数学]]において、{{harvs|txt|authorlink=ジャック・トゥシャール|first=Jacques|last= Touchard|year=1939}} によって研究された'''トゥシャール多項式'''（トゥシャールたこうしき、{{Lang-en-short|Touchard polynomials}}）あるいは'''指数多項式'''（exponential polynomials）<ref name=Roman-1>{{cite book|last=Roman|first=Steven|title=The Umbral Calculus|year=1984|publisher=Dover|isbn=0-486-44139-3}}</ref><ref>{{cite web|last=Boyadzhiev|first=Khristo N.|title=Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals.|url=http://arxiv.org/pdf/0909.0979.pdf|publisher=arxiv|accessdate=23 November 2013}}</ref><ref>{{cite web|last=Brendt|first=Bruce C|title=RAMANUJAN REACHES HIS HAND FROM HIS GRAVE TO SNATCH YOUR THEOREMS FROM YOU|url=http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/gravesnatching.pdf|accessdate=23 November 2013}}</ref> とは、次で定義される[[二項型多項式列|二項型]]の[[多項式列]]のことを言う。

:<math>T_0(x) = 1,\qquad T_n(x)=\sum_{k=1}^n S(n,k)x^k=\sum_{k=1}^n
\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}x^k, \quad n > 0.</math>

ただし ''S''(''n'', ''k'') は[[スターリング数|第二種スターリング数]]、すなわちサイズが ''n'' の集合を ''k'' 個の互いに素な空でない集合に[[集合の分割|分割]]する組合せの数を表す（上の第二式に現れる大括弧の記号 { } は[[ドナルド・クヌース]]によって導入された）。''n''次トゥシャール多項式の 1 における値は ''n'' 番目の[[ベル数]]、すなわち、サイズ ''n'' の集合を分割する組合せの数である。すなわち

:<math>T_n(1)=B_n</math>

である。

''X'' を、期待値が λ であるような[[ポアソン分布]]を伴う[[確率変数]]とすると、その ''n'' 次モーメントは E(''X''<sup>''n''</sup>) = ''T''<sub>''n''</sub>(λ) で、次が定義される。

:<math>T_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k k^n} {k!}.</math>

この事実より、この[[多項式列]]は[[二項型多項式列|二項型]]であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。

:<math>T_n(\lambda+\mu)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} T_k(\lambda) T_{n-k}(\mu).</math>

トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。

:<math>T_{n+1}(x)=x\sum_{k=0}^n{n \choose k}T_k(x).</math>

トゥシャール多項式は、[[ロドリゲスの公式]]に似た次の公式を満たす。

:<math>T_n \left(e^x \right) = e^{-e^x} \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{e^x}\right)</math>

トゥシャール多項式は、次の[[漸化式]]

:<math>T_{n+1}(x)=x \left(1+\frac{d}{dx} \right)T_{n}(x)</math>

および

:<math>T_{n+1}(x)=x\sum_{k=0}^n{n \choose k}T_k(x)</math>

を満たす。''x'' = 1 の場合、これは[[ベル数]]に対する漸化式に帰着される。

陰記法 ''T''<sup>''n''</sup>(''x'')=''T''<sub>''n''</sub>(''x'') を用いることで、これらの公式は次のようになる。

:<math>T_n(\lambda+\mu)=\left(T(\lambda)+T(\mu) \right)^n .</math>

:<math>T_{n+1}(x)=x \left(1+T(x) \right)^n.</math>

トゥシャール多項式の[[母関数]]は

:<math>\sum_{n=0}^\infty {T_n(x) \over n!} t^n=e^{x\left(e^t-1\right)}</math>

である。これは[[スターリング数|第二種スターリング数]]の母関数に対応し、<ref name=Roman62-63>{{cite book|last=Roman|first=Steven|title=The Umbral Calculus|year=1984|publisher=Dover|isbn=0-486-44139-3|pages=63–64}}</ref> においては指数多項式と呼ばれている。[[線積分|周回積分]]の表現を使えば

:<math>T_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{e^{x({e^t}-1)}}{t^{n+1}}\,dt</math>

となる。トゥシャール多項式（そして関連する[[ベル数]]）は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。

:<math>T_n(x)=\frac{n!}{\pi} \int^{\pi}_0 e^{x \bigl(e^{\cos(\theta)} \cos(\sin(\theta))-1 \bigr)} \cos \bigl(x e^{\cos(\theta)} \sin(\sin(\theta)) -n\theta) \, \mathrm{d}\theta </math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

* {{Citation | last1=Touchard | first1=Jacques | title=Sur les cycles des substitutions | doi=10.1007/BF02547349 | mr=1555449 | year=1939 | journal=[[Acta Mathematica]] | issn=0001-5962 | volume=70 | issue=1 | pages=243–297}}

{{DEFAULTSORT:とうしやあるたこうしき}}
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