トゥシャール多項式

数学において、テンプレート:Harvs によって研究されたトゥシャール多項式（トゥシャールたこうしき、テンプレート:Lang-en-short）あるいは指数多項式（exponential polynomials） とは、次で定義される二項型の多項式列のことを言う。

$T_0(x)=1,T_n(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^k=\sum _{k=1}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}{x}^k,n>0.$

ただし S(n, k) は第二種スターリング数、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割する組合せの数を表す（上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌースによって導入された）。n次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち

$T_n(1)=B_n$

である。

X を、期待値が λ であるようなポアソン分布を伴う確率変数とすると、その n 次モーメントは E(Xⁿ) = T_n(λ) で、次が定義される。

$T_n(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k{k}^n}{k!}.$

この事実より、この多項式列は二項型であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。

$T_n(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})T_k(\lambda )T_{n-k}(\mu ).$

トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。

$T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})T_k(x).$

トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式に似た次の公式を満たす。

$T_n\left(e^x\right)=e^{-e^x}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{e^x}\right)$

トゥシャール多項式は、次の漸化式

$T_{n+1}(x)=x(1+\frac{d}{dx})T_n(x)$

および

$T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})T_k(x)$

を満たす。x = 1 の場合、これはベル数に対する漸化式に帰着される。

陰記法 Tⁿ(x)=T_n(x) を用いることで、これらの公式は次のようになる。

$T_n(\lambda +\mu )={(T(\lambda )+T(\mu ))}^n.$

$T_{n+1}(x)=x{(1+T(x))}^n.$

トゥシャール多項式の母関数は

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{T_n(x)}{n!}{t}^n=e^{x(e^t-1)}$

である。これは第二種スターリング数の母関数に対応し、 においては指数多項式と呼ばれている。周回積分の表現を使えば

$T_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint \frac{e^{x(e^t-1)}}{t^{n+1}}dt$

となる。トゥシャール多項式（そして関連するベル数）は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。

$T_n(x)=\frac{n!}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{x(e^{\cos (\theta )}\cos (\sin (\theta ))-1)}\cos (x{e}^{\cos (\theta )}\sin (\sin (\theta ))-n\theta )\mathrm{d}\theta$

参考文献

• テンプレート:Citation