トマエ関数のソースを表示

[[File:Thomae function (0,1).svg|200px|right|thumb|区間(0,1)においてトマエ関数をプロットしたもの]]
'''トマエ関数'''とは、{{ill|カール・ヨハネス・トメ|en|Carl Johannes Thomae}} にちなんで名づけられた関数であり、'''ポップコーン関数'''、'''雨滴関数'''などの多くの別名を持ち、次のように定義される。

:<math>f(x) = 
\begin{cases}
  1/q &(x = p/q,\ x \in \Q \setminus \{0\},\ p \in \mathbb Z,\ q \in \mathbb N,\ \gcd(p, q) = 1),\\
  1   &(x = 0),\\
  0   &(x \in \R \setminus \Q).
\end{cases}
</math>

この関数は各有理数において[[不連続]]である一方で、各無理数において[[連続]]である。このように不連続点が[[稠密集合|稠密]]で無限個あるにもかかわらず、（定義式の似ている[[ディリクレの関数]]とは異なり）この関数は区間 {{math|[0, 1]}} 上で[[リーマン積分]]可能であることが示せる（<math> \textstyle \int_0^1 f(x) \, dx = 0 </math>）。

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last = Abbot
|first = S.
|title = Understanding Analysis
|edition = Second
|year = 2015
|publisher = Springer
|isbn = 978-1-4939-2711-1
|ref = harv
}}

==関連項目==
{{Div col}}
*[[ベール関数]]
*[[カントール関数]]
*[[ディリクレの関数]]
{{Div col end}}

{{デフォルトソート:とまえかんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]