トマエ関数

区間(0,1)においてトマエ関数をプロットしたもの

トマエ関数とは、テンプレート:Ill にちなんで名づけられた関数であり、ポップコーン関数、雨滴関数などの多くの別名を持ち、次のように定義される。

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1/q& (x=p/q,x\in \mathbb{Q}\setminus \{0\},p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N},\gcd (p,q)=1),\\ 1& (x=0),\\ 0& (x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}).\end{array}$

この関数は各有理数において不連続である一方で、各無理数において連続である。このように不連続点が稠密で無限個あるにもかかわらず、（定義式の似ているディリクレの関数とは異なり）この関数は区間 テンプレート:Math 上でリーマン積分可能であることが示せる（${\int }_0^{1}f(x)dx=0$）。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• ベール関数
• カントール関数
• ディリクレの関数