トムセンの定理のソースを表示

[[ファイル:Satz_von_Thomsen.svg|サムネイル|トムセンの定理<math>P_7=P_1 </math>]]
'''トムセンの定理'''（トムセンのていり、''{{Lang-en-short|Thomsen's theorem}}''）は、[[ゲルハルト・トムセン]]に因んで命名された[[初等幾何学]]の[[定理]]である。[[三角形]]の[[辺]]に[[平行]]な線から成る{{仮リンク|折線|en|Polygonal chain}}は閉曲線となることを主張する。

{{Math|△''ABC''}}の辺（またはその延長）{{Mvar|BC}}上に点{{Math|''P''{{sub|1}}}}をとる。{{Math|''P''{{sub|1}}}}を通り{{Mvar|CA}}と平行な直線と{{Mvar|AB}}の交点を{{Math|''P''{{sub|2}}}}、{{Math|''P''{{sub|2}}}}を通り{{Mvar|BC}}と平行な直線と{{Mvar|CA}}の交点を{{Math|''P''{{sub|3}}}}、{{Math|''P''{{sub|3}}}}を通り{{Mvar|AB}}と平行な直線と{{Mvar|BC}}の交点を{{Math|''P''{{sub|4}}}}、{{Math|''P''{{sub|4}}}}を通り{{Mvar|CA}}と平行な直線と{{Mvar|AB}}の交点を{{Math|''P''{{sub|5}}}}、{{Math|''P''{{sub|5}}}}を通り{{Mvar|BC}}と平行な直線と{{Mvar|CA}}の交点を{{Math|''P''{{sub|6}}}}とする。{{Math|''P''{{sub|6}}}}を通り{{Mvar|AB}}と平行な直線と{{Mvar|BC}}の交点は{{Math|''P''{{sub|1}}}}である。つまり折れ線{{Math|''P''{{sub|1}}''P''{{sub|2}}''P''{{sub|3}}''P''{{sub|4}}''P''{{sub|5}}''P''{{sub|6}}''P''{{sub|1}}}}は閉じる。また、いづれかの点が辺の中点である場合、その連鎖の長さは3になる

また{{Math|''P''{{sub|1}},''P''{{sub|2}},''P''{{sub|3}},''P''{{sub|4}},''P''{{sub|5}},''P''{{sub|6}}}}は同一[[楕円]]上にある。

<math>k=\frac{BP_{1}}{BC}=\biggl(\frac{CP_{2}}{CA}=\frac{AP_{3}}{AB}\biggr)</math>

としてその[[面積]]は

<math>\frac{4\pi}{3k^2-3k+1}S</math>

である。ただし{{Mvar|S}}は三角形の面積。楕円の中心は三角形の[[幾何中心|重心]]。{{Math|1=''k''=1/2}}のとき[[シュタイナーの内接楕円]]、{{Math|1=''k''=0,1}}のとき[[シュタイナー楕円|シュタイナーの外接楕円]]である。

== 出典 ==
* ''Satz von Thomsen'' In: ''Schülerduden – Mathematik II''. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, {{ISBN2|3-411-04275-3}}, pp. 358–359 (German)

== 関連項目 ==
* [[パップスの六角形定理|パップスの定理]]
* [[タッカー円]]
* [[三角形の円錐曲線]]

== 外部リンク ==
* Darij Grinberg: [http://web.mit.edu/~darij/www/Dreigeom/SchlEG.pdf ''Schließungssätze in der ebenen Geometrie''] (German)
* {{MathWorld|title=Thomsen's Figure|urlname=ThomsensFigure}}
* [https://demonstrations.wolfram.com/ThomsensFigure/ Thomsen's Figure] at [[Wolframデモンストレーションプロジェクト|Wolfram Demonstrations Project]].

{{デフォルトソート:とむせんのていり}}
[[Category:三角形に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]