ドッティ数のソースを表示

[[file:Cosine_fixed_point.svg|thumb]]

'''ドッティ数'''（{{lang-en-short|Dottie number}}）とは、次の方程式を満たす唯一の実数解（{{math|''x'' ≈ 0.739085...}}<ref>{{Cite OEIS|A003957|access-date=2023-07-02}}</ref>）のことである。

: <math> \cos x = x </math>

この数は[[リンデマンの定理]]より[[超越数]]である<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/DottieNumber.html|author=Eric W. Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|title=Dottie Number|access-date=2023-07-02}}</ref>。関数 {{math|''f''(''x'') {{=}} cos ''x'' − ''x''}} は無限個の[[複素数]]根を持つが、うち[[不動点#吸引的不動点|吸引的不動点]]となるのはドッティ数に限る。

{{仮リンク|ラグランジュ反転公式|en|Lagrange inversion theorem}}により関数 {{math|''f''(''x'') {{=}} cos ''x'' − ''x''}} の[[無限級数]]表示

: <math>f(x) = \frac{\pi}{2}+\sum_{n\,\mathrm{odd}} a_{n} \pi^{n}</math>

が得られる。ここで {{math|''a''{{msub|''n''}}}} は奇数 {{math|''n''}} について次のように定められる[[有理数]]である<ref name="Kaplan">{{cite journal|last1=Kaplan|first1=Samuel R|title=The Dottie Number|journal=Mathematics Magazine|date=February 2007|volume=80|page=73|doi=10.1080/0025570X.2007.11953455|s2cid=125871044|url=https://www.maa.org/sites/default/files/Kaplan2007-131105.pdf|accessdate=29 November 2017}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/A302977|website=oeis.org|access-date=2019-05-26|title=OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number.}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/A306254|title=A306254 - OEIS|website=oeis.org|access-date=2019-07-22}}</ref>。

: <math>\begin{align}
a_n&=\frac{1}{n!2^n}\lim_{m\to\frac\pi2}
\frac{\partial^{n-1}}{\partial m^{n-1}}{\left(\frac{\cos m}{m-\pi/2}-1\right)^{-n}}
\\&=-\frac{1}{4},-\frac{1}{768},-\frac{1}{61440},-\frac{43}{165150720},\ldots
\end{align}</math>

この定数の名前は、フランスの "Dottie" という名前の教授が計算機のコサインのボタンを何回も押している内にこの数を発見したことに由来する<ref name = "Kaplan"/>。計算機の角度の単位が[[ラジアン]]ではなく[[度数法]]に設定されている場合、ドッティ数ではなく {{math|0.999847...}} へと収束する<ref>{{Cite OEIS|A330119|access-date=2023-07-02}}</ref>。

== 閉じた形 ==

ドッティ数 {{math|''D''}} は正則化[[不完全ベータ関数]]を用いた次の表示を持つ。

: <math>D=\sqrt{1-\left(2\text{I}^{-1}_\frac12\left(\frac 12,\frac 32\right)-1\right)^2}</math>

== 積分表示 ==

* <math>D=\sqrt{1-\left(1-\left(\int_{-\infty }^{\infty } \frac{16 (z-\sinh (z))^2+12 \pi ^2}{\left(4 (z-\sinh (z))^2+3 \pi ^2\right)^2+16 \pi ^2 (z-\sinh (z))^2} \, dz\right)^{-1}\right)^2}</math>.[https://www.wolframalpha.com/input?i=Sqrt%5B1-%281-1%2F%28Integrate%5B%2812*Pi%5E2+%2B+16*%28z+-+Sinh%5Bz%5D%29%5E2%29%2F%28%283*Pi%5E2+%2B+4*%28z+-+Sinh%5Bz%5D%29%5E2%29%5E2+%2B16*Pi%5E2*%28z+-+Sinh%5Bz%5D%29%5E2%29%2C+%7Bz%2C+-Infinity%2C+Infinity%7D%5D%29%29%5E2%5D]
* <math>D=\frac{\pi }{2}-\frac1{2 \pi } \int_0^{\infty } \ln \left(\frac{2 \pi  \cosh (x)+\pi ^2}{x^2+\cosh ^2(x)}+1\right) \, dx</math>

== 参考文献 ==

{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* {{cite journal |journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|title=On the numerical values of the roots of the equation cosx = x|first1=T. H. |last1=Miller|date=Feb 1890|volume=9|pages=80–83|doi=10.1017/S0013091500030868|doi-access=free}}
* {{cite news |title=Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine |first1=Valerii |last1=Salov|date=2012|arxiv=1212.1027 }}
* {{cite journal |url=https://ijpam.eu/contents/2008-46-1/3/3.pdf |journal=International Journal of Pure and Applied Mathematics |title=ON THE FIXED POINTS OF A FUNCTION AND THE FIXED POINTS OF ITS COMPOSITE FUNCTIONS|first1=Mohammad K. |last1=Azarian|year=2008}}

{{DEFAULTSORT:とつていすう}}
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