ドッティ数

ドッティ数（テンプレート:Lang-en-short）とは、次の方程式を満たす唯一の実数解（テンプレート:Math）のことである。

$\cos x=x$

この数はリンデマンの定理より超越数である。関数 テンプレート:Math は無限個の複素数根を持つが、うち吸引的不動点となるのはドッティ数に限る。

テンプレート:仮リンクにより関数 テンプレート:Math の無限級数表示

$f(x)=\frac{\pi }{2}+\sum _{n\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}}{a}_n{\pi }^n$

が得られる。ここで テンプレート:Math は奇数 テンプレート:Math について次のように定められる有理数である。

$\begin{array}{cc}{a}_n& =\frac{1}{n!2^n}\underset{m\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{{\partial }^{n-1}}{\partial m^{n-1}}{(\frac{\cos m}{m-\pi /2}-1)}^{-n}\\ & =-\frac{1}{4},-\frac{1}{768},-\frac{1}{61440},-\frac{43}{165150720},\dots \end{array}$

この定数の名前は、フランスの "Dottie" という名前の教授が計算機のコサインのボタンを何回も押している内にこの数を発見したことに由来する。計算機の角度の単位がラジアンではなく度数法に設定されている場合、ドッティ数ではなく テンプレート:Math へと収束する。

閉じた形

ドッティ数 テンプレート:Math は正則化不完全ベータ関数を用いた次の表示を持つ。

$D=\sqrt{1-{(2{\text{I}}_{\frac{1}{2}}^{-1}(\frac{1}{2},\frac{3}{2})-1)}^2}$

積分表示

• $D=\sqrt{1-{(1-{\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{16(z-\sinh (z){)}^2+12{\pi }^2}{{(4(z-\sinh (z){)}^2+3{\pi }^2)}^2+16{\pi }^2(z-\sinh (z){)}^2}dz\right)}^{-1})}^2}$.[1]
• $D=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (\frac{2\pi \cosh (x)+{\pi }^2}{x^2+{\cosh }^2(x)}+1)dx$

外部リンク

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