ド・グアの定理のソースを表示

[[File:De_gua_theorem_1.svg|thumb|upright=1.4|頂点Oで面が直交する三角錐]]
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'''ド・グアの定理'''（ド・グアのていり、{{Lang-en-short|De Gua's theorem}}）は[[ピタゴラスの定理]]の3次元版ともいえる定理であり、{{仮リンク|ジャン・ポール・ド・グア・ド・マルヴ|en|Jean Paul de Gua de Malves|fr|Jean-Paul de Gua de Malves}}にちなんで命名された。日本では、'''四平方の定理'''と呼ばれることが多い。

[[三角錐]]に、3面が直交しあう頂点がある（[[立方体]]の頂点と同様）ならば、その頂点と向かい合う面の面積の平方は、残りの3つの各面の面積の平方の和に等しい。

:<math> A_{ABC}^2 = A_{\color {blue} ABO}^2+A_{\color {green} ACO}^2+A_{\color {red} BCO}^2 </math>

==一般化==

ピタゴラスの定理とド・グアの定理はいずれも直交する頂点を持つ [[単体 (数学)|''n''-単体]]に関する定理の特別な場合（''n''&nbsp;=&nbsp;2,&nbsp;3）である。さらにこれ自体、Donald R. Conant と William A. Beyer による以下に述べる定理<ref>{{cite journal |doi=10.2307/2319528 |title=Generalized Pythagorean Theorem |author1=Donald R Conant  |author2=William A Beyer  |name-list-style=amp |journal=The American Mathematical Monthly |volume=81 |date=Mar 1974 |pages=262–265 |jstor=2319528 |issue=3 |publisher=Mathematical Association of America |ref=harv}}</ref>の特別な場合である。

''U'' を、<math>\mathbb{R}^n</math> の ''k''-次元[[アフィン部分空間]]（よって <math>k \le n</math> ）に含まれるような[[ボレル集合]]とする。ちょうど ''k'' 個の要素からなる任意の部分集合 <math>I = \{i_1, \ldots, i_k\} \subseteq \{ 1, \ldots, n \}</math> に対し、''U'' の <math>e_{i_1}, \ldots, e_{i_k}</math> による[[線型包]]への[[射影作用素|直交射影]]を <math>U_I</math> と書くことにする（ここで <math>e_1, \ldots, e_n</math> は <math>\mathbb{R}^n</math> の[[標準基底]]）。このとき

:<math>\mbox{vol}_k^2(U) = \sum_I \mbox{vol}_k^2(U_I)</math>

ここで <math>\mbox{vol}_k(U)</math> は ''U'' の[[測度論|''k''-次元体積]]で、和は要素数がちょうど ''k'' 個となる全ての部分集合 <math>I \subseteq \{ 1, \ldots, n \}</math> の上にわたってとるものとする。

ド・グアの定理および上記の ''n''-単体への一般化は、''k''&nbsp;=&nbsp;''n''&minus;1 かつ、''U'' が <math>\mathbb{R}^n</math> 内の (''n''&minus;1)-単体で各頂点が[[直交座標系]]の座標軸上にあるような特別な場合である。例えば、''n''&nbsp;=&nbsp;3, ''k''&nbsp;=&nbsp;2 とし、''U'' が <math>x_1</math>,<math>x_2</math>,<math>x_3</math>-軸上にそれぞれ頂点 ''A'', ''B'', ''C'' がある <math>\triangle ABC \subseteq \mathbb{R}^3</math> であるときを考える。要素数がちょうど2の <math>\{ 1, 2, 3 \}</math> の部分集合 <math>I</math> は <math>\{ 2,3 \}</math>, <math>\{ 1,3 \}</math>, <math>\{ 1,2 \}</math>  である。定義より <math>U_{\{ 2,3 \}}</math> は <math>U = \triangle ABC</math> の <math>x_2 x_3</math>-平面への直交射影だから、''O''（原点）, ''B'', ''C'' を頂点とする <math>\triangle OBC</math> である。同様に <math>U_{\{ 1,3 \}} = \triangle AOC</math>, <math>U_{\{ 1,2 \}} = \triangle ABO</math> なので、Conant–Beyerの定理は

:<math>\mbox{vol}_2^2(\triangle ABC) = \mbox{vol}_2^2(\triangle OBC) + 
\mbox{vol}_2^2(\triangle AOC) + \mbox{vol}_2^2(\triangle ABO)</math>

となってド・グアの定理が得られる。

==歴史==

ド・グア (1713&ndash;85) は本定理を1783年に公表したが、ほぼ同時期に、別のフランス人数学者シャルル・ド・タンソー・ダモンダン（{{仮リンク|Charles de Tinseau d'Amondans|en|Charles de Tinseau d'Amondans|fr|JCharles d'Amondans de Tinseau}} ）(1746&ndash;1818) もわずかに一般性の高いバージョンのものを公表していた。だが、それよりずっと早くに{{仮リンク|ヨハン・ファウルハーバー|en|Johann Faulhaber|de|Johannes Faulhaber}} (1580&ndash;1635) および[[ルネ・デカルト]] (1596&ndash;1650)もこの定理のことを知っていた<ref>{{MathWorld|title=de Gua's theorem|urlname=deGuasTheorem}}</ref><ref>Howard Whitley Eves: ''Great Moments in Mathematics (before 1650)''. Mathematical Association of America, 1983, {{ISBN2|9780883853108}}, S. 37 ({{Google books|9_w5jDPTvCQC|excerpt|page=37}})</ref>。

==脚注==
<References/>

==参考文献==
* {{MathWorld|title=de Gua's theorem|urlname=deGuasTheorem}}
* Sergio A. Alvarez: [http://www.cs.bc.edu/~alvarez/NDPyt.pdf ''Note on an n-dimensional Pythagorean theorem''], Carnegie Mellon University.
*[http://www.gogeometry.com/solid/gua_theorem.htm  ''De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D''] &mdash; 図解および三角錐についての関連した性質。

== さらに詳しく ==
* {{cite journal |last1=Kheyfits |first1=Alexander |year=2004 |title=The Theorem of Cosines for Pyramids |journal=The College Mathematics Journal |publisher=Mathematical Association of America |volume=35 |issue=5 |pages=385–388 |jstor=4146849}} ド・グアの定理の証明および、任意の三角錐や角錐への一般化。


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