ド・ジッター空間のソースを表示

数学や物理学において、'''ド・ジッター空間''' ({{lang-en-short|de Sitter space}}) とは、通常の[[ユークリッド空間]]における球面に対する、[[ミンコフスキー空間]]あるいは時空における類似物である。''n'' 次元'''ド・ジッター空間'''は dS<sub>''n''</sub> と書き、（標準の[[リーマン計量]]を持つ）[[n-球面|''n'' 次元球面]]に対する[[擬リーマン多様体#ローレンツ多様体|ローレンツ多様体]]での類似物である。この空間は最大の対称性を持ち、正の定[[スカラー曲率|曲率]]を持ち、3 以上の ''n'' に対して[[単連結]]である。

==名称==
ド・ジッター空間は[[反ド・ジッター空間]]と同様に、[[ライデン大学]]の天文学の教授で、[[ライデン天文台]]の天文台長であった[[ウィレム・ド・ジッター]]  (1872–1934) の名前に因んでいる。

ウィレム・ド・ジッターと[[アルベルト・アインシュタイン]]は、1920年代に[[ライデン]]で、宇宙の[[時空]]の構造について研究を共にした。
==概要==
[[一般相対論]]の言葉でいえば、ド・ジッター空間とは最大対称性を持ち、（正の真空エネルギー密度と負の圧力に対応する）正（反発力）の[[宇宙定数]] <math>\Lambda</math> を持つ[[アインシュタイン場の方程式]]の{{仮リンク|真空解|en|vacuum solution}}(vacuum solution)のことである。{{nowrap|1=''n'' = 4}}（3つの空間次元と 1つの時間次元）のとき、ド・ジッター空間は物理的な宇宙の天文学的なモデルとなる。[[ド・ジッター宇宙]]を参照。

ド・ジッター空間はウィレム・ド・ジッターと[[トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ]]により同時に独立に発見された。

さらに最近は、ド・ジッター空間は[[ミンコフスキー空間]]を使うのではなく、[[特殊相対論]]の設定として考えられるようになった。その理由は、{{仮リンク|群縮約|en|group contraction}}(group contraction)によってド・ジッター空間の[[等長写像|等長変換群]]が[[ポアンカレ群]]へと還元されることで、時空[[平行移動|変換部分群]]やポアンカレ群の[[ローレンツ変換|ローレンツ変換部分群]]が{{仮リンク|凖単純群|en|semi-simple group}}(semi-simple group)ではなく[[単純群]]に統一できるためである。この特殊相対論の定式化を{{仮リンク|ド・ジッター相対性|en|de Sitter relativity}}(de Sitter relativity)と呼ぶ。

==定義==

ド・ジッター空間は 1つ次元が高い[[ミンコフスキー空間]]の[[部分多様体]]として定義することができる。標準的な[[計量テンソル|計量]]
:<math>ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2</math>
を持つミンコフスキー空間 '''R'''<sup>1,''n''</sup> をとると、ド・ジッター空間は一枚のシートの[[双曲面]]
:<math>-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 = \alpha^2</math>
により記述される部分多様体である。ここに <math>\alpha</math> は長さの次元を持つ正の定数である。ド・ジッター空間上の計量は、アンビエント・ミンコフスキー計量から導かれる。導かれた計量はローレンツ的な符号数を持ち[[非退化]]である。（上の定義に加えて、<math>\alpha^2</math> を <math>-\alpha^2</math> と置き換えると、2枚のシートの双曲面を得る。この場合の導かれた計量は正定値であり、それぞれのシートは [[双曲空間|''n''-次元双曲空間]]のコピーである。

ド・ジッター空間は、2つの{{仮リンク|不定値直交群|en|indefinite orthogonal group}}(indefinite orthogonal group)の[[商位相空間|商空間]] {{nowrap|O(1,''n'')/O(1,''n''−1)}} としても定義される。このことは、この空間が非リーマン的な{{仮リンク|対称空間|en|symmetric space}}(symmetric space)であることを示している。

[[位相幾何学|トポロジー]]的には、ド・ジッター空間は {{nowrap|'''R''' × ''S''<sup>''n''−1</sup>}} である（したがって、{{nowrap|''n'' ≥ 3}} であれば、ド・ジッター空間は[[単連結空間|単連結]]である）。
==性質==

ド・ジッター空間の{{仮リンク|等長変換群|en|isometry group}}(isometry group)は、[[ローレンツ群]] O(1,''n'') である。従って、計量は ''n''(''n''+1)/2 個の独立な[[キリングベクトル]]を持ち、最大対称である。すべての最大対称空間は定曲率を持つ。ド・ジッター空間の[[リーマン曲率テンソル]]は、
:<math>R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})</math>

により与えられる。

[[リッチテンソル]]は計量に比例する
:<math>R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2}g_{\mu\nu}</math>
ので、ド・ジッター空間は[[アインシュタイン多様体]]である。このことは、ド・ジッター空間は、
:<math>\Lambda = \frac{(n-1)(n-2)}{2\alpha^2}</math>
により与えられる宇宙定数を持つアインシュタイン方程式の真空解であることを意味する。ド・ジッター空間の[[スカラー曲率]]は、
:<math>R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.</math>
により与えられる。''n'' = 4 の場合、Λ = 3/α<sup>2</sup> であり、''R'' = 4Λ = 12/α<sup>2</sup> である。

==静的な座標==

ド・ジッター空間に対して{{仮リンク|静的座標|en|static spacetime}}(static coordinates) <math>(t, r, \ldots)</math> を次のように導入することができる。
:<math>x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\sinh(t/\alpha)</math>
:<math>x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\cosh(t/\alpha)</math>
:<math>x_i = r z_i \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2\le i\le n.</math>
ここに、<math>z_i</math> は  (''n''−2)-球面の '''R'''<sup>''n''&minus;1</sup> の中への標準的な埋め込みを与える。 これらの座標では、ド・ジッター計量は、

:<math>ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.</math>

となる。<math>r = \alpha</math> には{{仮リンク|天文学的地平線|en|cosmological horizon}}(cosmological horizon)が存在することに注意。
==平坦なスライシング==
<math>r^2=\sum_i y_i^2</math> として、
:<math>x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) + r^2 e^{t/\alpha}/2\alpha,</math>
:<math>x_1 = \alpha \cosh(t/\alpha) - r^2 e^{t/\alpha}/2\alpha,</math>
:<math>x_i = e^{t/\alpha}y_i, \qquad 2 \leq i \leq n</math>
とすると、<math>(t,y_i)</math> 座標では、計量は、
:<math>ds^{2} = -dt^{2} + e^{2t/\alpha} dy^{2}</math>
である。ここに <math>dy^2=\sum_i dy_i^2</math> は <math>y_i</math> の上の平坦な計量である。
==開いたスライシング==
標準計量 <math>\sum_i dz_i^2 = d\Omega_{n-2}^2</math> を持つ <math>S^{n-2}</math> を形成する <math>\sum_i z_i^2 = 1</math> を考え、
:<math>x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) \cosh\xi,</math>
:<math>x_1 = \alpha \cosh(t/\alpha),</math>
:<math>x_i = \alpha z_i \sinh(t/\alpha) \sinh\xi, \qquad 2 \leq i \leq n</math>
とすると、ド・ジッター空間の計量は、
:<math>ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) dH_{n-1}^2,</math>
である。ここに
:<math>dH_{n-1}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi d\Omega_{n-2}^2</math>
はユークリッド的な双曲空間の計量である。
==閉じたスライシング==
<math>z_i</math> で <math>S^{n-1}</math> を表し、
:<math>x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha),</math>
:<math>x_i = \alpha \cosh(t/\alpha) z_i, \qquad 1 \leq i \leq n</math>
とすると、計量は、
:<math>ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \cosh^2(t/\alpha) d\Omega_{n-1}^2.</math>
である。

<math>\tan(\eta/2)=\tanh(t/2\alpha)</math> により時間変数を共形時間へ変えると、アインシュタインの静的宇宙に共形同値な計量
:<math>ds^2 = \frac{\alpha^2}{\cos^2\eta}(-d\eta^2 + d\Omega_{n-1}^2).</math>
を得る。ここからド・ジッター空間の[[ペンローズ図]]を求めることができる。{{clarify|date=November 2012}}
==ド・ジッター・スライシング==
<math>z_i</math> で <math>S^{n-3}</math> を表し、
:<math>x_0 = \alpha \sin(\chi/\alpha) \sinh(t/\alpha) \cosh\xi,</math>
:<math>x_1 = \alpha \cos(\chi/\alpha),</math>
:<math>x_2 = \alpha \sin(\chi/\alpha) \cosh(t/\alpha),</math>
:<math>x_i = \alpha z_i \sin(\chi/\alpha) \sinh(t/\alpha) \sinh\xi, \qquad 3 \leq i \leq n</math>
とすると、計量は、
:<math>ds^2 = d\chi^2 + \sin^2(\chi/\alpha) ds_{dS,\alpha,n-1}^2,</math>
である。ここに
:<math>ds_{dS,\alpha,n-1}^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) dH_{n-2}^2</math>
は開いたスライシングにおける <math>\alpha</math> の曲率半径を持つ <math>n-1</math> 次元ド・ジッター空間の計量である。双曲計量は、
:<math>dH_{n-2}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi d\Omega_{n-3}^2</math>
により与えられる。

これは、座標 <math>(t,\xi,\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-3}) \to (i\chi,\xi,it,\theta,\phi_1,\cdots,\phi_{n-4})</math> のもとでの開いたスライシングの解析接続であり、時間的と空間的な性質が交換されるので、<math>x_0</math> と <math>x_2</math> も交換される。
==関連項目==
* [[反ド・ジッター空間]]
* [[ド・ジッター宇宙]]
* [[AdS/CFT対応]]
* [[双曲面]]
* {{仮リンク|ド・ジッター＝シュヴァルツシルト計量|en|De Sitter–Schwarzschild metric}}(De Sitter–Schwarzschild metric)

==参考文献==
*{{SpringerEOM|title=De Sitter space|author=Qingming Cheng|urlname=De_Sitter_space}}
*{{Citation|last=de Sitter|first=W.|year=1917|title=On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis|journal=Proc. Kon. Ned. Acad. Wet.|volume=19|pages=1217–1225}}
*{{Citation|last=de Sitter|first=W.|year=1917|title=On the curvature of space|journal=Proc. Kon. Ned. Acad. Wet.|volume=20|pages=229–243}}
* {{Citation|first=Tullio|last=Levi-Civita|authorlink=Tullio Levi-Civita|title=Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi|journal=Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei|volume=26|year=1917|pages=519–31}}
* {{Citation|last=Nomizu|first=Katsumi|authorlink=Katsumi Nomizu|title=The Lorentz–Poincaré metric on the upper half-space and its extension|journal=[[Hokkaido Mathematical Journal]]|volume=11|year=1982|pages=253–261|issue=3}}
* {{Citation|last=Coxeter|first=H. S. M.|authorlink=Harold Scott MacDonald Coxeter|title=A geometrical background for de Sitter's world|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=50|year=1943|pages=217–228|doi=10.2307/2303924|issue=4|publisher=Mathematical Association of America|jstor=2303924}}
* {{Citation|last1=Susskind|first1=L.|last2=Lindesay|first2=J.|title=An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution:The Holographic Universe|year=2005|page=119(11.5.25)}}

{{DEFAULTSORT:としつたあくうかん}}
[[Category:一般相対性理論における厳密解]]
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:ウィレム・ド・ジッター]]