ド・ブランジュ空間のソースを表示

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[[数学]]において、'''ド・ブランジュ空間''' (ドブランジュくうかん {{lang-en-short|'''de Branges space'''}}) とは、[[関数解析学]]上の概念であり、'''ド・ブランジュ関数'''を用いて構築される。

この概念の名前は、この空間に関する多くの定理、特にヒルベルト空間としての性質について証明し、それらを用いて[[ド・ブランジュの定理|ビーベルバッハ予想]]を証明した[[ルイ・ド・ブランジュ]]にちなむ。

== ド・ブランジュ関数 ==
ド・ブランジュ関数 ({{lang|en|'''de Branges function'''}}) とは、<math>\mathbb{C}</math> から <math>\mathbb{C}</math> への[[整関数]] {{Mvar|E}} のうち、[[複素平面]]の[[上半平面]]に属する全ての {{mvar|z}} について不等式 <math>|E(z)| > |E(\bar z)|</math> が満たされるものをいう。

== 定義1 ==
あるド・ブランジュ関数 {{Mvar|E}} に対して、ド・ブランジュ空間 {{Math|''B''(''E'')}} は次を満たす[[整関数]]全体と定義される。
: <math>F/E,F^{\#}/E \in H_2(\mathbb{C}^+)</math>
ここで、
* <math>\mathbb{C}^+ = \{z \in \mathbb{C} | {\rm Im(z)} > 0\}</math> は複素平面の上半平面、
* <math>F^{\#}(z) = \overline{F(\bar z)}</math>、
* <math>H_2(\mathbb{C}^+)</math> は上開半平面上の通常の[[ハーディ空間]]である。

== 定義2 ==
ド・ブランジュ空間は、次の条件を満す整関数 {{Mvar|F}} 全体として定義することもできる。
* <math>\int_{\mathbb{R}} |(F/E)(\lambda)|^2 \mathrm d\lambda < \infty </math>
* <math>|(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|  \leq C_F(\operatorname{Im}(z))^{(-1/2)}, \forall z \in \mathbb{C}^+</math>

== ヒルベルト空間として ==
あるド・ブランジュ空間 {{Math|''B''(''E'')}} に対し、次の様にスカラー積を定義する。
: <math>[F,G]=\frac{1}{\pi} \int_{\mathbb{R}} \overline{F(\lambda)} G(\lambda) \frac{\mathrm d\lambda}{|E(\lambda)|^2}</math>
このような積を持つド・ブランジュ空間は[[ヒルベルト空間]]であることを証明できる。

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|last=Christian Remling|author=Christian Remling|year=2003|title=Inverse spectral theory for one-dimensional Schrödinger operators: the A function|journal=Math. Z.|volume=245|pages=597–617|doi=10.1007/s00209-003-0559-2}}

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