ド・ブランジュ空間

数学において、ド・ブランジュ空間 (ドブランジュくうかん テンプレート:Lang-en-short) とは、関数解析学上の概念であり、ド・ブランジュ関数を用いて構築される。

この概念の名前は、この空間に関する多くの定理、特にヒルベルト空間としての性質について証明し、それらを用いてビーベルバッハ予想を証明したルイ・ド・ブランジュにちなむ。

ド・ブランジュ関数

ド・ブランジュ関数 (テンプレート:Lang) とは、$ℂ$ から $ℂ$ への整関数 テンプレート:Mvar のうち、複素平面の上半平面に属する全ての テンプレート:Mvar について不等式 $|E(z)|>|E(\overline{z})|$ が満たされるものをいう。

定義1

あるド・ブランジュ関数 テンプレート:Mvar に対して、ド・ブランジュ空間 テンプレート:Math は次を満たす整関数全体と定義される。

$F/E,F^{\mathrm{\#}}/E\in H_2({ℂ}^{+})$

ここで、

• ${ℂ}^{+}=\{z\in ℂ|\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{(}\mathrm{z}\mathrm{)}>0\}$ は複素平面の上半平面、
• $F^{\mathrm{\#}}(z)=\overline{F(\overline{z})}$、
• $H_2({ℂ}^{+})$ は上開半平面上の通常のハーディ空間である。

定義2

ド・ブランジュ空間は、次の条件を満す整関数 テンプレート:Mvar 全体として定義することもできる。

• $\underset{ℝ}{\int }|(F/E)(\lambda ){|}^2\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$
• $|(F/E)(z)|,|(F^{\mathrm{\#}}/E)(z)|\le C_F(\mathrm{Im}(z){)}^{(-1/2)},\mathrm{\forall }z\in {ℂ}^{+}$

ヒルベルト空間として

あるド・ブランジュ空間 テンプレート:Math に対し、次の様にスカラー積を定義する。

$[F,G]=\frac{1}{\pi }\underset{ℝ}{\int }\overline{F(\lambda )}G(\lambda )\frac{\mathrm{d}\lambda }{|E(\lambda ){|}^2}$

このような積を持つド・ブランジュ空間はヒルベルト空間であることを証明できる。

参考文献

• テンプレート:Cite journal