ド・モアブルの定理のソースを表示

{{for|中心極限定理|{{仮リンク|ド・モワブル＝ラプラスの定理|en|De Moivre–Laplace theorem}}}}
'''ド・モアブルの定理'''（ド・モアブルのていり、{{lang-en-short|de Moivre's theorem}}; '''ド・モアブルの公式'''（ド・モアブルのこうしき）ともいう）とは、[[複素数]]（特に[[実数]]）{{mvar|θ}} および[[整数]] {{mvar|n}} に対して
:<math>(\cos \theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta</math>
が成り立つという、[[複素数]]と[[三角関数]]に関する[[定理]]である。定理の名称は[[アブラーム・ド・モアブル]] (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない<ref>{{Cite book |first1=Margaret L. |last1=Lial |first2=John |last2=Hornsby |first3=David I. |last3=Schneider |first4=Daniels |last4=Callie J. |title=College Algebra and Trigonometry|edition=4th |year=2008 |location=Boston |publisher=Pearson/Addison Wesley |isbn=9780321497444 |page=792}}</ref>。数学的帰納法による証明では、[[三角関数]]の[[三角関数#加法定理|加法定理]]が利用される。

実数 {{mvar|θ}} と正の整数 {{mvar|n}} に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、{{mvar|n}}倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の {{mvar|n}}倍角の公式を内在的に含んでいる。

[[オイラーの公式]]：<math>e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta</math> より、ド・モアブルの定理は[[複素指数函数]]についての指数法則の一つ：
:<math>(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\quad(\theta \in \mathbb{C},\,n \in \mathbb{Z})</math>
が成り立つことを意味している。

== 証明 ==
=== 数学的帰納法による証明 ===
{{math proof|<br>
'''1'''. まず、{{math|''n'' ≥ 0}} について成り立つことを、[[数学的帰納法]]により証明する。

[i] {{math|''n'' {{=}} 0}} のとき<br>
:（左辺）<math>=(\cos \theta + i\sin \theta)^0 = 1</math>
:（右辺）<math>=\cos 0 + i\sin 0 = 1</math>
よって {{math|''n'' {{=}} 0}} のときに本定理は成立する。

[ii] {{math|''n'' &minus; 1}} のとき、すなわち
:<math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n-1} = \cos (n-1)\theta + i\sin (n-1)\theta</math>
が成り立つと仮定すると
:<math>\begin{align}
(\cos \theta + i\sin \theta)^n
&= (\cos \theta + i\sin \theta)^{n-1}(\cos \theta + i\sin \theta) \\
&= \{\cos [(n-1)\theta] + i\sin [(n-1)\theta]\}(\cos \theta + i\sin \theta)\\
&= \{\cos [(n-1)\theta] \cos \theta - \sin [(n-1)\theta]\sin \theta\} + i\{\sin [(n-1)\theta] \cos \theta + \cos [(n-1)\theta] \sin \theta\}\\
&= \cos n\theta + i\sin n\theta
\end{align}</math><ref group="注">等式の整理に[[三角関数#加法定理|加法定理]]を利用した。</ref>
ゆえに、{{mvar|n}} のときも本定理は成立する。<br>
よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、{{math|''n'' ≥ 0}} に対して本定理が成り立つ。

'''2'''. 続いて {{math|''n'' < 0}} の場合を、'''1'''. を利用して証明する。

{{math|''n'' < 0}} のとき、{{math|''n'' {{=}} &minus;''m''}} とおくと、{{mvar|m}} は自然数である。<br>
'''1'''. の結果より、{{mvar|m}} については定理の等式が成り立つから、
:<math>\begin{align}
(\cos \theta + i\sin \theta)^n
&= (\cos \theta + i\sin \theta)^{-m} \\
&= \frac{1}{(\cos \theta +i\sin \theta)^m} \\
&= \frac{1}{\cos m\theta +i\sin m\theta} \\
&= \frac{\cos m\theta -i\sin m \theta}{(\cos m\theta +i\sin m \theta)(\cos m\theta -i\sin m\theta)} \\
&= \cos m\theta - i\sin m\theta \\
&= \cos (-m\theta) + i\sin (-m\theta) \\
&= \cos (-m)\theta+i\sin (-m)\theta \\
&= \cos n\theta + i\sin n\theta
\end{align}</math><ref group="注">等式の整理に[[三角関数#負角・余角・補角公式|三角関数の負角公式]]を利用した。</ref>
ゆえに {{math|''n'' < 0}} のときも本定理が成り立つ。<br>
したがって、'''1'''、'''2''' より、任意の整数 {{mvar|n}} に対して、本定理が成り立つ<ref>[http://toitemita.sakura.ne.jp/suugakukonetapdf/De%20Moivre's%20theorem.pdf ド・モアブルの定理]</ref>。
(Q.E.D.)|drop=no}}

=== 複素数の積の性質による証明 ===
{{math proof|
複素数の積の性質を用いても導出できる。{{math2|''θ'', ''φ'' ∈ '''C'''}} に対して
:<math>\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)
&=(\cos \theta\cos \phi-\sin \theta\sin \phi)+i(\sin \theta\cos \phi+\cos \theta\sin \phi)\\
&=\cos (\theta+\phi)+i\sin (\theta+\phi)
\end{align}</math>
が成り立つ<ref group="注">これは変数を実数と考えると、複素平面の単位円上、偏角 {{mvar|θ}} の複素数に偏角 {{mvar|φ}} の複素数を掛けると偏角が {{math|''θ'' + ''φ''}} になることを意味する。</ref>。よって帰納的に
:<math>(\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta + i\sin n\theta</math>
が分かる<ref>[http://kansu.jp/text/daikiso13.pdf 2013年度「代数学基礎」, pp.57–60]</ref>。
(Q.E.D.)|drop=no}}

=== オイラーの公式による証明 ===
{{math proof|
[[オイラーの公式]]
:<math>e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta</math>（{{mvar|θ}} は複素数）
ならびに複素指数関数の[[指数法則]]を用いても証明できる。<!--（オイラーの公式ならびに複素指数関数の指数法則はド・モアブルの定理を使わずに証明できる。-->{{mvar|n}} を整数として、この式の両辺を {{mvar|n}} 乗すれば
:<math>\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)^n &=(e^{i\theta})^n \\
&=e^{in\theta} \\
&=\cos n\theta+i\sin n\theta \\
\end{align}</math>
したがって
:<math>\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)^n
&=\cos n\theta+i\sin n\theta \\
\end{align}</math>
が得られる<ref>[http://www.mns.kyutech.ac.jp/~kamada/Euler.pdf ド・モアブルの公式とオイラーの公式 - 九州工業大学工学部 教授 鎌田 裕之]</ref>。
(Q.E.D.)|drop=no}}

== 指数が非整数の場合 ==
ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る（[[多価関数]]）からである（[[冪乗#指数・対数法則の不成立]]参照）。{{mvar|n}} が整数でないとき、ド・モアブルの定理における {{mvar|n}} 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。

{{mvar|θ}} を実数、{{mvar|w}} を複素数とすると
:<math>\{\exp(i\theta)\}^w=\exp\{w\log \exp(i\theta)\}=\exp\{wi(\theta+2n\pi)\}=\exp(iw\theta)\exp(2n\pi iw)</math>（{{mvar|n}} は整数）
である。したがって、{{mvar|w}} が整数であれば
:<math>\{\exp(i\theta)\}^w=\exp(iw\theta)\cdot1=\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)</math>
という 1 つの値を取るが、{{mvar|w}} が整数でないときは <math>\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)</math> を含む複数の値を取ることになる。

{{math|{exp(''iθ'')}{{sup|''w''}}}} の値の取り方について、{{mvar|w}} が有理数であれば、{{math|''w'' {{=}} {{sfrac|''a''|''b''}} }} （{{mvar|a}}, {{mvar|b}} は互いに素）と表すと、{{math|2''nwπ'' {{=}} 2''π'' × {{sfrac|''na''|''b''}} }}であるから、{{math|''n'' {{=}} 0, 1, …, ''b'' &minus; 1}} で循環し、{{mvar|b}} 個の値を取る。{{math|''w'' ∉ '''Q'''}}（無理数または虚数）ならば循環せず、[[可算無限]]個の値を取る。

== 適用例 ==
;[[虚数単位]]の累乗
:{{mvar|n}} を整数とすると、
:<math>i^n =(0+i)^n =\left(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin \frac{\pi}{2} \right)^n = \cos \frac{n\pi}{2} +i\sin \frac{n\pi}{2}</math>
:<math>\therefore \ i^{\,n} = \begin{cases}
1  &\text{if }n\equiv0\pmod4\\
i  &\text{if }n\equiv1\pmod4\\
-1 &\text{if }n\equiv2\pmod4\\
-i & \text{if }n\equiv3\pmod4
\end{cases}</math>
::{{mvar|n}} が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。

;[[1の冪根]]
:{{mvar|n}} を 2 以上の自然数とするとき、{{math|''z{{sup|n}}'' {{=}} 1}} を満たす {{mvar|z}} を求める。
:{{mvar|z}} の極形式を {{math2|''z'' {{=}} ''r''(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'')}}（{{math2|''r'' ≥ 0}}, {{mvar|θ}} は実数）とする。
:<math>\begin{align}
z^n
&= \{ r(\cos \theta +i \sin \theta )\}^n \\
&= r^n (\cos \theta +i \sin \theta )^n \\
&= r^n (\cos n\theta +i \sin n\theta ) \\
&= 1
\end{align}</math>
:<math>\therefore r^n =1, \ n\theta = 2\pi k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1)</math>
:<math>\therefore r =1, \ \theta = \frac{2\pi}{n} k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1)</math>
:<math>\therefore \ z = \cos \frac{2\pi}{n} k +i \sin \frac{2\pi}{n} k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1) \quad \blacksquare</math>

== 関連項目 ==
* [[複素数]]
* [[三角関数]]
* [[1の冪根]]
* [[オイラーの公式]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 参照 ===
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|689|ド・モアブルの定理の意味と証明}}

<!--
{{複素数}}-->
{{DEFAULTSORT:ともあふるのていり}}
[[Category:複素数]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:証明を含む記事]]