ド・モアブルの定理

テンプレート:For ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり、テンプレート:Lang-en-short; ド・モアブルの公式（ド・モアブルのこうしき）ともいう）とは、複素数（特に実数）テンプレート:Mvar および整数 テンプレート:Mvar に対して

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。数学的帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。

実数 テンプレート:Mvar と正の整数 テンプレート:Mvar に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、テンプレート:Mvar倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の テンプレート:Mvar倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式：$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ より、ド・モアブルの定理は複素指数函数についての指数法則の一つ：

$(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }(\theta \in ℂ,n\in \mathbb{Z})$

が成り立つことを意味している。

指数が非整数の場合

ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る（多価関数）からである（冪乗#指数・対数法則の不成立参照）。テンプレート:Mvar が整数でないとき、ド・モアブルの定理における テンプレート:Mvar 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。

テンプレート:Mvar を実数、テンプレート:Mvar を複素数とすると

$\{\exp (i\theta ){\}}^w=\exp \{w\log \exp (i\theta )\}=\exp \{wi(\theta +2n\pi )\}=\exp (iw\theta )\exp (2n\pi iw)$（テンプレート:Mvar は整数）

である。したがって、テンプレート:Mvar が整数であれば

$\{\exp (i\theta ){\}}^w=\exp (iw\theta )\cdot 1=\cos (w\theta )+i\sin (w\theta )$

という 1 つの値を取るが、テンプレート:Mvar が整数でないときは $\cos (w\theta )+i\sin (w\theta )$ を含む複数の値を取ることになる。

テンプレート:Math の値の取り方について、テンプレート:Mvar が有理数であれば、テンプレート:Math （テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar は互いに素）と表すと、テンプレート:Mathであるから、テンプレート:Math で循環し、テンプレート:Mvar 個の値を取る。テンプレート:Math（無理数または虚数）ならば循環せず、可算無限個の値を取る。

適用例

虚数単位の累乗

テンプレート:Mvar を整数とすると、

$i^n=(0+i{)}^n={(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})}^n=\cos \frac{n\pi }{2}+i\sin \frac{n\pi }{2}$

$\therefore i^n=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }n\equiv 0(\mathrm{mod}4)\\ i& \text{if }n\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ -1& \text{if }n\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ -i& \text{if }n\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$

テンプレート:Mvar が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。

1の冪根

テンプレート:Mvar を 2 以上の自然数とするとき、テンプレート:Math を満たす テンプレート:Mvar を求める。

テンプレート:Mvar の極形式を テンプレート:Math2（テンプレート:Math2, テンプレート:Mvar は実数）とする。

$\begin{array}{cc}{z}^n& =\{r(\cos \theta +i\sin \theta ){\}}^n\\ & =r^n(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n\\ & =r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )\\ & =1\end{array}$

$\therefore r^n=1,n\theta =2\pi k(k=0,1,\cdots ,n-1)$

$\therefore r=1,\theta =\frac{2\pi }{n}k(k=0,1,\cdots ,n-1)$

$\therefore z=\cos \frac{2\pi }{n}k+i\sin \frac{2\pi }{n}k(k=0,1,\cdots ,n-1)◼$

関連項目

• 複素数
• 三角関数
• 1の冪根
• オイラーの公式

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語