ナーゲル点のソースを表示

[[ファイル:Extouch Triangle and Nagel Point.svg|thumb|300px|三角形（黒）とナーゲル点（N で示された青い点）橙色の円は[[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]。]]
[[ファイル:Fuhrmann_circle.svg|thumb|300px|right|ナーゲル点 N を通る[[フールマン円]]。[[垂心]] H と当該円の[[直径]]を構成する。]]

[[幾何学]]における'''ナーゲル点'''（ナーゲルてん、''Nagel Point''）は、任意の[[三角形]]に対し一意的に決定される点の名称である。

三角形 ABC において、BC と[[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]の接点を T<sub>A</sub> とする。同様に T<sub>B</sub>, T<sub>C</sub> を定義したとき、AT<sub>A</sub>, BT<sub>B</sub>, CT<sub>C</sub> の3直線が交わる点がナーゲル点である。名称は[[1836年]]にこの点について言及したドイツの[[クリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲル]]に由来している。

A と T<sub>A</sub> は三角形の周を等分する。このことからナーゲル点は "bisected perimeter point"<!--周長2等分点？--> とも呼ばれる。同じ理由から AT<sub>A</sub> などを{{仮リンク|中界線|en|Splitter (geometry)}}と呼ぶ。

== 他の点との関係 ==
ナーゲル点は[[重心]]・[[内心]]と同一直線上にある。この線をナーゲル線と呼ぶ。三角形の内心は[[中点三角形]]のナーゲル点となる。

[[ジェルゴンヌ点]]と[[等長共役]]の関係にある。

== 座標 ==
[[1913年]]に[[ウィリアム・ゲラトゥリ|ゲラトゥリ]]はナーゲル点の[[三線座標]]が以下の式で表されることを示した。
:<math>\csc^2(A/2)\,:\,\csc^2(B/2)\,:\,\csc^2(C/2)</math>
三辺の長さを ''a'' = |''BC''|, ''b'' = |''CA''|, ''c'' = |''AB''| とすると、以下の式で表すことができる。
:<math>\frac{b + c - a}{a}\,:\,\frac{c + a - b}{b}\,:\,\frac{a + b - c}{c}.</math>

[[重心座標]]では以下の式となる。
:<math>(b + c - a)\,:\,(c + a - b)\,:\,(a + b - c)</math>

== 関連項目 ==
* [[三角形の中心]]
* [[フールマン円]]
* [[半周長]]

== 参考文献 ==
*{{cite journal
 | doi = 10.2307/2970994
 | author = Anonymous
 | contribution = Problem 73
 | author2 = Hoover, William
 | author3 = Anthony, O. W
 | title = Geometry: 69-72
 | journal = American Mathematical Monthly
 | volume = 3
 | issue = 12
 | pages = 329
 | year = 1896
 | jstor = 2970994}}
*{{cite journal
 | author = Baptist, Peter
 | title = Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt
 | journal = Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften
 | volume = 71
 | year = 1987
 | issue = 2
 | pages = 230–233
 | mr = 0936136 }}
*{{cite book
 | author = Gallatly, William
 | title = The Modern Geometry of the Triangle
 | edition = 2nd
 | year = 1913
 | pages = page 20
 | publisher = Hodgson
 | location = London}}

== 外部リンク ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NagelPoint.shtml Nagel Point] from Cut-the-knot
* [http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/nagel.html Nagel Point], Clark Kimberling
* {{mathworld | title = Nagel Point | urlname = NagelPoint}}
* [http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/spiekernagelgeneral.html Spieker Conic and generalization of Nagel line] at [https://web.archive.org/web/20090321024112/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches] Generalizes Spieker circle and associated Nagel line.

{{DEFAULTSORT:なあけるてん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形の中心]]
[[fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Nagel]]