ニュートンの不等式のソースを表示

'''ニュートンの不等式'''（ニュートンのふとうしき、英: ''Newton's inequalities''）は、数学における[[対称式]]に関する[[不等式]]で、[[アイザック・ニュートン|アイザックニュートン]]の名をとって命名された。{{mvar|n}}個の実数 {{math2|''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|n}}''}} に対し、これの {{mvar|k}}次対称式を {{mvar|e{{sub|k}}}} とおく。次に、次の式で与えられる'''基本対称平均'''
: <math>S_k = \frac{e_k}{\binom{n}{k}}</math>
は、次の[[不等式]]を満たす。ただし、<math>\binom{n}{k}</math> は[[二項係数]]である。
: <math>S_{k-1}S_{k+1} \le {S_k}^2.</math>
等号成立の必要十分条件は、{{math2|''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|n}}''}} が非負でかつすべて互いに等しいとき。

{{math|''S''{{sub|1}}}} は[[算術平均]]であり、{{mvar|S{{sub|n}}}} は[[幾何平均]]の {{mvar|n}}乗である。

== 関連項目 ==
* [[マクローリンの不等式]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book|last=Hardy, G. H.|last2=Littlewood, J. E.|last3=Pólya, G.|title=Inequalities|publisher=Cambridge University Press|year=1952|isbn=978-0521358804}}
* {{Cite book|last=Newton|first=Isaac|title=Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber|year=1707}}
* D.S. Bernstein ''Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas'' (2009 Princeton) p.55
* {{Cite journal|last=Maclaurin|first=C.|year=1729|title=A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra|url=https://zenodo.org/record/1432210/files/article.pdf|journal=Philosophical Transactions|volume=36|issue=407-416|pages=59-96|doi=10.1098/rstl.1729.0011|doi-access=free}}
* {{Cite journal|last=Whiteley|first=J.N.|year=1969|title=On Newton's Inequality for Real Polynomials|journal=The American Mathematical Monthly|volume=76|issue=8|pages=905-909|publisher=The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8|doi=10.2307/2317943|jstor=2317943}}
* {{Cite journal|last=Niculescu|first=Constantin|year=2000|title=A New Look at Newton's Inequalities|url=http://www.emis.de/journals/JIPAM/article111.html?sid=111|journal=Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics|volume=1|issue=2|at=Article 17}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|750|ニュートンの不等式の具体例}}

{{DEFAULTSORT:にゆうとんのふとうしき}}
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