ニュートン・ガウス線のソースを表示


{{混同|ガウス・ニュートン法|ニュートン線|x2=四角形の|x1=非線形最小二乗法を解く手法}}
[[ファイル:Newton-Gauss_Line_Default_Figure.png|サムネイル|
{{Legend-line|solid red|[[対角線]]}}
{{Legend-line|solid lime|'''ニュートン・ガウス線'''。対角線の中点{{mvar|L, M, N}}を通る。}}]]
[[幾何学]]において、'''ニュートン・ガウス線'''<ref name=":0">
{{Cite book
|和書 
|title=数学オリンピック幾何への挑戦 ユークリッド幾何学をめぐる船旅 |date=2023-3-10 
|publisher=[[日本評論社]] 
|author=Evan Chen 
|translator=兒玉太陽, 熊谷勇輝, 宿田彩人, 平山楓馬 |isbn=9784535789784 
|page=274}}</ref>（ニュートン・ガウスせん、{{Lang-en-short|Newton–Gauss line, Gauss–Newton line}}）あるいは単に'''ニュートン線'''<ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=幾何学の基礎 第3版 (岩波全書 ; 第104) |year=1946 |publisher=[[岩波書店]] |page=102 |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1211294}}</ref>は、{{仮リンク|完全四辺形|en|Complete quadrangle}}の3つの[[対角線]]の[[中点]]を結ぶ[[直線]]である。

[[凸集合|凸]][[四角形]]の2つの対角線の中点を結ぶ直線である[[ニュートン線]]とは区別される。四角形の辺を延長して、完全四辺形を作れば、四角形のニュートン線は完全四辺形のニュートン・ガウス線となる。
 <!--ニュートン線との違いの議論は、英語版Newton lineのTalk参照 -->

== 完全四辺形 ==
{{Main|完全四辺形}}
{{仮リンク|一般の位置|en|General position}}にある（どれも[[平行]]でないかつ[[共点]]でない）4つの直線は、{{仮リンク|完全四辺形|en|Complete quadrangle}}を成す。この{{仮リンク|点と直線の配置|en|Configuration (geometry)|label=配置}}は4本の直線とその6つの交点から成る<ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/266061112|title=Gauss–Newton Lines and Eleven Point Conics|last=Alperin|accessdate=2024-11-16|first=Roger C.|author-link=Roger C. Alperin|date=6 January 2012|website=Research Gate}}</ref>。この6点のうち任意の2点を端点とする線分が、もと4直線の交点以外で交わるように、6つの交点を3組に分割することができる。この3つの線分を完全四辺形の[[対角線]]という。

=== ニュートン・ガウス線の存在証明 ===
[[ファイル:Labeling_for_a_complete_quadrilateral.svg|右|350x350ピクセル|Labels used in proof concerning complete quadrilateral]]
完全四辺形の対角線の中点が[[共線]]であることはとても有名な定理である<ref name="Johson62">{{Harvnb|Johnson|2007|loc=p. 62}}</ref>。証明方法も多く存在しており、例えば[[面積]]<ref name="Johson62" />や[[楔積]]<ref>
{{Citation
|title=Geometry A Comprehensive Course
|last=Pedoe
|first=Dan
|authorlink= ダニエル・ペドー
|year=1988
|origyear=1970
|publisher=Dover
|pages=46–47
|isbn=0-486-65812-0}}</ref>、[[ガウス・ボーデンミラーの定理]]<ref name=":0" />を用いるものなどがある。ここでは、1920年のHillyerによる[[メネラウスの定理]]を用いた証明を紹介する<ref>{{Harvnb|Johnson|2007|loc=p. 152}}</ref>。

対角線が{{Mvar|{{overline|AA'}}, {{overline|BB'}}, {{overline|CC'}}}}であるような完全四辺形{{Mvar|ABCA'B'C'}}について、線分{{Mvar|{{overline|AA'}}, {{overline|BB'}}, {{overline|CC'}},{{overline|BC}}, {{overline|CA'}}, {{overline|A'B}}}}の中点をそれぞれ{{Mvar|L, M, N, P, Q, R}}とする。明らかに{{Mvar|L, Q, R}}は共線である。同様に{{Mvar|M, R, P}}と{{Mvar|N, P, Q}}も共線であるから、三角形の[[図形の相似|相似]]より次の関係式が成立する。

: <math>\frac{\overline{RL}}{\overline{LQ}} = \frac{\overline{BA}}{\overline{AC}}, \quad \frac{\overline{QN}}{\overline{NP}} = \frac{\overline{A'C'}}{\overline{C'B}}, \quad \frac{\overline{PM}}{\overline{MR}} = \frac{\overline{CB'}}{\overline{B'A'}}.
</math>

ただし、直線{{Math|''A’B'C ''}}と{{Math|△''ABC' ''}}にメネラウスの定理を用いて、3つの式の右辺の積は-1となる。したがって左辺の積は-1となるから、{{Math|△''PQR''}}にメネラウスの定理の逆を使用して、点 {{Mvar|L, M, N}}は共線である。

== 円に内接する四角形への応用 ==
BarbuとPatrascuによる、[[円に内接する四角形]]から作られる完全四辺形のニュートン・ガウス線を用いた定理を挙げる<ref name=":2">{{Cite web |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201212.pdf |title=Some Properties of the Newton–Gauss Line |author=Patrascu |first=Ion |date= |website=[[Forum Geometricorum]] |access-date=29 April 2019 |archive-date=29 March 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230329151523/https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201212.pdf |url-status=dead}}</ref>。

=== 等しい角 ===
[[ファイル:Newton-Gauss_Line_Figure_1_subtext.png|サムネイル|図1: 角の等価性。]]
円に外接する四角形{{Mvar|ABCD}}の対角線{{Mvar|{{overline|AC}}, {{overline|BD}}}}の交点を{{Mvar|F}}、対辺{{Mvar|{{overline|AB}}, {{overline|CD}}}}の交点を{{Mvar|E}}、 {{Mvar|{{overline|EF}}}}の中点を{{Mvar|N}}、{{Mvar|{{overline|BC}}}}の中点を{{Mvar|M}}とする（図1）。

==== 定理 ====
{{Mvar|{{overline|BF}}}}の中点を{{Mvar|P}}とすれば、完全四辺形{{Mvar|ABCDEF}}のニュートン・ガウス線と直線{{Mvar|PM}}によって決定される角{{Math|∠''PMN''}}は{{Math|∠''EFD''}}と等しい。

===== 証明 =====
[[三角形]] {{Math|△''NPM'', △''EDF''}}の[[図形の相似|相似]]を示す。

{{Math|''BE'' ∥ ''PN''}}と{{Math|''FC'' ∥ ''PM''}}から{{Math|1=∠''NPM'' = ∠''EAC''}}が分かる。また、<math>\tfrac{\overline{BE}}{\overline{PN}} = \tfrac{\overline{FC}}{\overline{PM}} = 2</math>である。

円に外接する四角形の性質より、

: <math>\begin{align}
\angle EDF &= \angle ADF + \angle EDA, \\
           &= \angle ACB + \angle ABC, \\
           &= \angle EAC.
\end{align}</math>

したがって{{Math|1=∠''NPM'' = ∠''EDF''}}。

{{Math|''R''{{sub|1}}, ''R''{{sub|2}}}}を{{Math|△''EDB'', △''FCD''}}の[[外接円]]の[[半径]]として、[[正弦定理]]を使用することにより、

: <math>\frac {\overline{BE}}{\overline{FC}}=\frac {2R_1\sin \angle EDB}{2R_2\sin \angle FDC}=\frac {R_1}{R_2}=\frac {2R_1\sin \angle EBD}{2R_2\sin \angle FCD} = \frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}.</math>

{{Math|1={{overline|''BE''}} = 2 · {{overline|''PN''}}}} と {{Math|1={{overline|''FC''}} = 2 · {{overline|''PM''}}}}より<math>\tfrac{\overline{PN}}{\overline{PM}} = \tfrac{\overline{DE}}{\overline{DF}}</math>。{{Math|△''PMN'', △''DFE''}}の相似から{{Math|1=∠''NMP'' = ∠''EFD''}}。

===== 備考 =====
{{Mvar|{{overline|FC}}}}の中点を{{Mvar|Q}}とすれば、同様にして{{Math|1=∠''NMQ'' = ∠''EFA''}}が成立する。
[[ファイル:Newton-Gauss_Line_Figure_2_Subtext.png|サムネイル|図2:等角共役線。]]

=== 等角共役線 ===

==== 定理 ====
完全四辺形{{Mvar|ABCDEF}}のニュートン・ガウス線の{{Mvar|E}}を通る平行線は、{{Math|∠''BEC''}}における直線{{Mvar|EF}}の[[等角共役]]線である<ref name=":2" />。

===== 証明 =====
三角形{{Math|△''EDF'', △''NPM''}} は相似であるから、{{Math|1=∠''DEF'' = ∠''PNM''}}である。完全四辺形{{Mvar|ABCDEF}}のニュートン・ガウス線{{Mvar|NM}}の{{Mvar|E}}を通る平行線と{{Mvar|BC}}の交点を{{Mvar|E'}}とする。

{{Math|''PN'' ∥ ''BE''}} と {{Math|''NM'' ∥ ''EE' ''}}より、{{Math|1=∠''BEF'' = ∠''PNF''}},  {{Math|1=∠''FNM'' = ∠''E'EF''}}。

したがって、

: <math>\begin{align}
\angle CEE' &= \angle DEF - \angle E'EF, \\
            &= \angle PNM - \angle FNM, \\
            &= \angle PNF = \angle BEF.
\end{align}</math>

=== ニュートン・ガウス線を共有する2つの共円四角形 ===
[[ファイル:Newton-Gauss_Line_Subtext_3.1.png|サムネイル|図3:四角形{{Mvar|MPGN, MQHN}} は円に内接する。]]

==== 補題 ====
{{Mvar|G}}と{{Mvar|H}}を、点{{Mvar|F}}のそれぞれ直線{{Mvar|AB,CD}}における[[直交射影]]とする。

[[四角形]]{{Mvar|MPGN}}, {{Mvar|MQHN}}は円に内接する<ref name=":2" />。

===== 証明 =====
前項で示したように、{{Math|1=∠''EFD'' = ∠''PMN''}}。 点{{Mvar|P}}と{{Mvar|N}}はそれぞれ[[直角三角形]]{{Math|△''BFG'', △''EFG''}}の[[外心]]であるから{{Math|1=∠''PGF'' = ∠''PFG''}}と{{Math|1=∠''FGN'' = ∠''GFN''}}が成立する。

したがって、

: <math>\begin{align} 
\angle PGN + \angle PMN 
& = (\angle PGF + \angle FGN) + \angle PMN  \\[4pt] 
& = \angle PFG + \angle GFN + \angle EFD \\[4pt] 
&= 180^\circ 
\end{align}.</math>

よって{{Mvar|MPGN}}は円に内接する。同様にして、{{Mvar|MQHN}}も円に内接する。
[[ファイル:Newton-Gauss_Line_Figure_3_subtext_2.png|サムネイル|図4:完全四辺形{{Mvar|EDGHIJ, ABCDEF}}はニュートン・ガウス線を共有する。]]

==== 定理 ====
{{Mvar|GF, HF}}の延長線は、それぞれ{{Mvar|EC, EB}}と{{Mvar|I, J}}で交わるとする。 

完全四辺形 {{Mvar|EFGHIJ}}, {{Mvar|ABCDEF}}のニュートン・ガウス線は一致する<ref name=":2" />。

===== 証明 =====
2つの完全四辺形は対角線{{Mvar|{{overline|EF}}}}を共有する。{{Mvar|N}}は双方のニュートン・ガウス線上に位置する。四角形{{Mvar|EGFH}}が円に内接することと、その円の中心が{{Mvar|N}}であることより、{{Mvar|N}}は{{Mvar|G,H}}と{{仮リンク|等距離|en|equidistant}}である。

{{Math|△''GMP'', △''HMQ''}} が[[図形の合同|合同]]ならば、{{Mvar|M}}は{{Mvar|HG}}の[[垂直二等分線]]上に位置するから、 直線{{Mvar|MN}}は線分{{Mvar|{{overline|GH}}}}の中点を含むみ、完全四辺形{{Mvar|EFGHIJ}}のニュートン・ガウス線となる。

{{Math|△''GMP'', △''HMQ''}}の合同を示す。{{Mvar|{{overline|BF}}, {{overline|BC}}}}の中点が{{Mvar|M, P}}であることより、{{Mvar|PMQF}}は[[平行四辺形]]である。

したがって

: <math>\begin{align}
& \overline{MP} = \overline{QF} = \overline{HQ}, \\
& \overline{GP} = \overline{PF} = \overline{MQ}, \\
& \angle MPF = \angle FQM.
\end{align}</math>

更に、

: <math>\angle FPG = 2 \angle PBG = 2 \angle DBA = 2 \angle DCA = 2 \angle HCF = \angle HQF.</math>

よって、

: <math>\begin{align}
\angle MPG &= \angle MPF + \angle FPG, \\
           &= \angle FQM + \angle HQF, \\
           &= \angle HQF + \angle FQM, \\
           &= \angle HQM.
\end{align}</math>

したがって、[[二辺夾角相等]]より{{Math|△''GMP''}}は {{Math|△''HMQ''}}は合同。

===== 備考 =====
{{Math|△''GMP'', △''HMQ''}}が合同であることから、 {{Mvar|MPGN, MQHN}}の外接円も合同である。

== 他の性質 ==
*ニュートン・ガウス線の[[無限遠点]]の[[等角共役点]]は、完全四辺形の[[ミケルの定理|ミケル点]]である。さらに、その[[シムソン線]]は、ニュートン・ガウス線と[[直交]]する<ref name=":mori">{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 |publisher=[[朝倉書店]] |year=1953 |pages=50,76 |author=森本清吾 |author-link=森本清吾 |id={{NDLJP|1372292}}}}</ref>。
*5つの線から成る5つの完全四辺形のニュートン・ガウス線は共点である<ref name=":1" />。

== 歴史 ==
ニュートン・ガウス線は[[アイザック・ニュートン]]と[[カール・フリードリヒ・ガウス]]の名を冠する{{要出典|date=June 2019}}。この定理の最初の枠組みは[[ニュートン線]]における定理、[[ニュートンの定理]]であり、ニュートンは四角形に内接する[[円錐曲線]]の中心はニュートン・ガウス線上にあることを示した<ref>{{Citation|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry|last=Wells|first=David|year=1991|url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/36|publisher=Penguin Books|page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/36 36]|isbn=978-0-14-011813-1}}</ref>。 

ガウスとボーデンミラー（Bodenmiller）は、完全四辺形の対角線を直径とする3つの円は[[アポロニウスの円束|共軸]]であることを示した（ガウス・ボーデンミラーの定理）<ref>{{Harvnb|Johnson|2007|loc=p. 172}}</ref>。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation|和書|title=Advanced Euclidean Geometry|last=Johnson|first=Roger A.|author-link=ロジャー・アーサー・ジョンソン|year=2007|origyear=1929|publisher=Dover|isbn=978-0-486-46237-0}}
** (オンライン版) {{Cite web |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89043163211;view=1up;seq=14 |title=Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle |author=Johnson |first=Roger A. |date=1929 |website=HathiTrust |access-date=28 May 2019}}<cite class="citation web cs1" id="CITEREFJohnson1929">[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89043163211;view=1up;seq=14 "Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle"]. ''HathiTrust''<span class="reference-accessdate">. </span><span class="reference-accessdate">Retrieved <span class="nowrap">28 May</span> 2019</span>.</cite>
*{{Cite journal|journal=INTERNATIONAL JOURNAL OF GEOMETRY|author=Dorin Andrica|year=2021|title=The converse of the Newton-Gauss theorem|author-link=|last2=C. Turcas|first2=George|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2020/12/7.-79-84.pdf}}

== 外部リンク ==
* {{Cite web |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Quadri.shtml#explanation |title=Theorem of Complete Quadrilateral: What is it? |author=Bogomonly |first=Alexander |access-date=11 May 2019}}
* {{Cite web |url=https://chrisvantienhoven.nl/ql-items/ql-lines/ql-l1 |title=QL-L1: The Newton Line |access-date=2024-11-16 |publisher=EQF}}
* {{Cite web |url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Gauss_line |title=Gauss line |access-date=2024-11-16 |publisher=[[AoPS]]}}
*{{Cite web |url=https://planetmath.org/NewtonGaussLine |title=Newton-Gauss line |access-date=2024-11-16 |publisher=[[PlanetMath]]}}
{{DEFAULTSORT:にゆうとんかうすせん}}
[[Category:四角形]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]