ニーベンの定理のソースを表示


{{暫定記事名|date=2024年8月}}

'''ニーベンの定理'''（ニーベンのていり、{{Lang-en-short|Niven's theorem}}）は[[数学]]において[[度数法]]で0°≤''&#x3B8;''≤90°の範囲で、''&#x3B8;''とsin''θ''がともに[[有理数]]となるのは0°, 30°, 90°のみであるという[[定理]]である。[[イヴァン・ニーベン]]に因んで名付けられた<ref>{{Cite journal|last=Schaumberger|first=Norman|year=1974|title=A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities|journal=[[Two-Year College Mathematics Journal]]|volume=5|issue=1|pages=73–76|doi=10.2307/3026991|JSTOR=3026991}}</ref>。式で表せば、''&#x3B8;''とその[[正弦関数|正弦]]が有理数となるのは以下の場合のみである。

: <math>
\begin{align}
\sin 0^\circ & = 0, \\[10pt]
\sin 30^\circ & = \frac 12, \\[10pt]
\sin 90^\circ & = 1.
\end{align}
</math>

[[弧度法]]で表すと、0≤''x''≤{{Pi}}/2の範囲で''x''/{{Pi}}が有理数であるとき、sin''x''が有理数となるときはsin0=0, sin{{Pi}}/6=1/2, sin{{Pi}}/2=1である場合のみである。

この定理はニーベンの書籍 ''Irrational numbers'' （『無理数』）の系3.12に書かれている<ref name="niven">{{Cite book |last=Niven |first=Ivan |author-link=Ivan Niven |year=1956 |title=Irrational Numbers |url=https://archive.org/details/irrationalnumber00nive |series=The [[Carus Mathematical Monographs]] |issue=11 |publisher=[[The Mathematical Association of America]] |mr=0080123 |page=[https://archive.org/details/irrationalnumber00nive/page/41 41]}}</ref>。

[[一般角]]に拡張して書くこともできる<ref name="niven" />。有理数θにおいて、θの正弦または[[余弦関数|余弦]]が取る有理数値は0,±1/2,±1に限られる。また、[[正割関数|正割]]または[[余割]]が取る有理数値は±1,±2に限られる。[[正接]]または[[余接]]が取る有理数値は0,±1に限られる<ref name="bgs">余弦についての証明は次の文献の補題12にある。{{Cite journal|last=Bennett|first=Curtis D.|last2=Glass|first2=A. M. W.|last3=Székely|first3=Gábor J.|year=2004|title=Fermat's last theorem for rational exponents|journal=American Mathematical Monthly|volume=111|issue=4|pages=322–329|doi=10.2307/4145241|JSTOR=4145241|MR=2057186}}</ref>。

== 歴史 ==
ニーベンの証明は彼の書籍 ''Irrational Numbers'' に示されている。しかしニーベンの証明以前に、{{仮リンク|デリック・ヘンリー・レーマー|en|D. H. Lehmer|label=D・H・レーマー}}やオルムステッド（J. M. H. Olmstead）によって証明されていた<ref name="niven" />。1933年のレーマーの書籍では、レーマーは余弦においてより一般の結果を証明している。具体的には、[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な整数<math>k, n \,(n>2)</math>に対して、<math>2\cos(2\pi k/n)</math>は<math>\varphi(n)/2</math>次の[[代数的数]]である。ただし<math>\varphi</math>は[[トーシェント関数]]。有理数は1次の代数的数であるから、<math>n \le 2</math>または<math>\varphi(n)=2</math>が必要となり、<math>n=1, 2, 3, 4, 6</math>の場合のみが残る。これらを個々に確かめることにより、ニーベンの定理の主張を得る。次に彼は<math>\sin(\theta)=\cos(\theta-\pi/2)</math>を用いて正弦についての結果を得た<ref name="Lehmer">{{Cite journal|last=Lehmer|first=Derrick H.|year=1933|title=A note on trigonometric algebraic numbers|journal=The American Mathematical Monthly|volume=40|issue=3|pages=165–166|doi=10.2307/2301023|JSTOR=2301023}}</ref>。1956年、ニーベンはレーマーの結果を他の[[三角関数]]に拡張した<ref name="niven" />。 他の数学者はその後、新しい証明を発表している<ref name="bgs" />。 

== 関連項目 ==

* [[ピタゴラス数]] - ピタゴラス三角形のもつ鋭角は有理数度にならないことが定理からわかる。
* [[三角関数]]
* {{仮リンク|三角法数|en|Trigonometric number}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Cite journal|last=Olmsted|first=J. M. H.|year=1945|title=Rational values of trigonometric functions|journal=The American Mathematical Monthly|volume=52|issue=9|pages=507–508|JSTOR=2304540}}
* {{Cite arXiv|arxiv=1006.2938|class=math.HO|last=Jahnel|first=Jörg|title=When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|urlname=NivensTheorem|title=Niven's Theorem}}
* {{ProofWiki|id=Niven's_Theorem|title=Niven's Theorem}}
*
{{デフォルトソート:にいへんのていり}}
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