ヌルベクトルのソースを表示

{{confuse|零ベクトル}}
[[File:Conformalsphere.pdf|thumb|A null cone where ''n'' = 3]]
[[数学]]において[[二次空間]] {{math|(''X'', ''q'')}}（すなわち[[二次形式]] {{mvar|q}} を備えた[[ベクトル空間]] {{mvar|X}}）の'''ヌルベクトル''' (''null vector'') または'''等方ベクトル'''（とうほうベクトル、{{lang-en-short|''isotropic vector''}}）とは、{{math|1=''q''(''x'') = 0}} を満たす非零元 {{math|''x'' &isin; ''X''}} を言う。

[[実数|実]][[二次形式]]の理論において、[[定符号二次形式]]と[[等方二次形式]]は相異なる（両者の違いは後者には非零ヌルベクトルが存在するという点だけである）。そのようなベクトルが取れるとき、二次空間 {{math|(''X'', ''q'')}} は{{仮リンク|擬ユークリッド空間|en|pseudo-Euclidean space}}と呼ばれる。擬ユークリッドなベクトル空間 {{mvar|X}} は、（一意とは限らない）互いに[[直交]]する部分空間 {{mvar|A, B}} を用いて {{math|1=''X'' = ''A'' + ''B''}} と分解して、二次形式 {{mvar|q}} が {{mvar|A}} 上正定値かつ {{mvar|B}} 上負定値となるようにすることができる。{{mvar|X}} の[[光円錐|ヌル円錐]]または'''等方錐'''は均衡球面の合併 <math display="block">\bigcup_{r\ge0} \{x = a + b : q(a) = -q(b) = r, a \in A, b \in B \}</math> からなる。この錐は原点を通る{{仮リンク|等方直線|en|isotropic line}}すべての合併でもある。

== 例 ==
* [[ミンコフスキー空間]]の[[ミンコフスキー空間#因果構造|光的ベクトル]]はヌルベクトルである。
* 四つの[[線型独立]]な{{仮リンク|双四元数|en|biquaternion}} {{math|1=''l'' = 1 + ''hi''}}, {{math|1=''n'' = 1 + ''hj''}}, {{math|1=''m'' = 1 + ''hk''}}, {{math|1=''m''<sup>∗</sup> = 1 – ''hk''}} はヌルベクトルで {{math|{{mset|''l'', ''n'', ''m'', ''m''<sup>∗</sup>}}}} は[[時空]]を表すのに用いられる部分空間の[[基底 (線型代数学)|基底]]を与える。ヌルベクトルは時空多様体に対する{{仮リンク|ニューマン&ndash;ペンローズの定式化|en|Newman–Penrose formalism}}にも利用される<ref>Patrick Dolan (1968) [http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103840725 A Singularity-free solution of the Maxwell-Einstein Equations], [[Communications in Mathematical Physics]] 9(2):161–8, especially 166, link from [[Project Euclid]]</ref>。
* [[合成代数]]はヌルベクトルを持つとき分解型 (split) であり、さもなくば[[多元体]]である。
* [[リー代数]]の{{仮リンク|ヴァーマ加群|en|Verma module}}にはヌルベクトルが存在する。

== 脚注 ==
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
* {{cite book |first=B. A. |last=Dubrovin |first2=A. T. |last2=Fomenko |authorlink2=Anatoly Fomenko |first3=S. P. |last3=Novikov |authorlink3=Sergei Novikov (mathematician) |year=1984 |title=Modern Geometry: Methods and Applications |translator-first=Robert G. |translator-last=Burns |page=50 |publisher=Springer |isbn=0-387-90872-2 |url=https://books.google.com/books?id=o5ePoAEACAAJ&pg=PA50 }}
* {{cite book |first=Ronald |last=Shaw |year=1982 |title=Linear Algebra and Group Representations |volume=1 |page=151 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=0-12-639201-3 |url=https://books.google.com/books?id=C6DgAAAAMAAJ }}
* {{cite book | last = Neville | first = E. H. (Eric Harold) | author-link =エリック・ハロルド・ネヴィル  | title =Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions | publisher =[[Cambridge University Press]] | date = 1922 |page=204| url =https://archive.org/details/prolegomenatoana00nevi }}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Null Vector|urlname=NullVector}}

{{DEFAULTSORT:ぬるへくとる}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:二次形式論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ベクトル]]