ネイピア数の表現のソースを表示

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{{ネイピア数e}}
'''[[ネイピア数]]''' {{mvar|e}} には様々な表式がある。本稿では代表的なネイピア数の定義とそれに基づく表式について述べる。以下では特に断りがない限り、{{mvar|e}} をネイピア数とする。

{{mvar|e}} は[[数学定数]]の一つであり、しばしば[[自然対数]]の[[対数#定義|底]]と呼ばれる[[実数]]である。{{mvar|e}} は[[無理数]]であるため（[[ネイピア数の無理性の証明]]参照）通常の[[分数]]では表せないが、無限[[連分数]]で表すことはできる。また、[[解析学]]的手法を用いて[[級数]]や[[総乗#無限乗積|無限乗積]]、ある種の[[数列]]の[[極限]]として{{mvar|e}} を表すことができる。

== 定義 ==
以下にネイピア数 {{mvar|e}} のいくつかの定義を示す。本項において {{mvar|e}} の定義と {{mvar|e}} の表式に明確な差はないが、歴史的に {{mvar|e}} の利用目的・存在理由としての意義付けが明確なものを定義として扱っている。

I. [[ヤコブ・ベルヌーイ]]によるとされる {{mvar|e}} の定義:
:<math>e=\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math>
:ベルヌーイは[[複利]]計算の過程でこの式の重要性を見い出したとされている。

II. [[微分積分学]]的な定義:
:<math>e=a\;\text{ s.t. }\frac{d}{dx} a^x = a^x\,</math>
:{{mvar|x}} を指数部に持つ[[指数関数]]において {{mvar|x}} による[[微分]]がその関数自身となる、という {{mvar|e}} の性質は[[微分積分学]]での最も基本的なものの一つである。

== 連分数による表現 ==
{{mvar|e}} は様々な無限[[連分数]]で表現できる。[[超越数]]であるので循環節は持たないが、ある種の規則性が観察される。

I. {{mvar|e}} は単純な正則[[連分数]]で表現可能である<ref>{{OEIS|id=A003417}}</ref>:
:<math>
\begin{align}
e &= \left[2;1,\textbf{2} ,1,1,\textbf{4},1,1,\textbf{6},1,1,\textbf{8} ,1,1,\ldots,\textbf{2n} ,1,1,\ldots \right] \\
  &= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\ddots}}}}}
\end{align}
</math>
II. 一般連分数による表現
:<math>e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}}</math>
III. (II) から[[連分数]]等価変換により得られる連分数
:<math>e=2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}}</math>
IV. (II) から変換して得られるが、…&nbsp;6,&nbsp;10,&nbsp;14,&nbsp;… という項を含み、収束が早い。
:<math>e=1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}}</math>
V. この例は {{mvar|e}} の[[指数関数]]のうち特殊なケースである。
:<math>e^{2x/y} = 1+\cfrac{2x}{(y-x)+\cfrac{x^2}{3y+\cfrac{x^2}{5y+\cfrac{x^2}{7y+\cfrac{x^2}{9y+\ddots\,}}}}}</math>

== 級数による表現 ==
ネイピア数 {{mvar|e}} は次のような[[級数]]で表される。

*<math>e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}</math><ref>{{cite web
|url = http://oakroadsystems.com/math/loglaws.htm
|title = It’s the Law Too — the Laws of Logarithms
|last = Brown
|first = Stan
|date = 2006-08-27
|publisher = Oak Road Systems
|accessdate = 2008-08-14
}}</ref>
*<math>e=\left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right]^{-1}</math>
*<math>e=\left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right]^{-1}</math><ref>Formulas 2-7: [[:en:Harlan J. Brothers|H. J. Brothers]],  Improving the convergence of Newton's series approximation for e.  ''The College Mathematics Journal'', Vol. 35, No. 1, 2004;  pages 34-39.</ref>
*<math>e=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}</math> 
*<math>e=2\sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}</math>
*<math>e=\sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}</math>
*<math>e=\sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}</math>
*<math>e=\left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1} \, (2k+1)!} \right]^2</math>
*<math>e=-\frac{12}{\pi^2} \left[ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left( \frac{9}{k\pi +\sqrt{k^2 \pi^2 -9}} \right) \right]^{-1/3}</math>
*<math>e=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}</math>
*<math>e=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}</math>
*<math>e=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}</math>　（''B<sub>n</sub>'' は ''n'' 番目の[[ベル数]]）

== 無限乗積による表現 ==
ネイピア数 {{mvar|e}} はいくつかの[[総乗#無限乗積|無限乗積]]の形式で表現できる。

I. Pippengerの積:
:<math>e=2\left( \frac{2}{1} \right)^{1/2} \left( \frac{2}{3} \; \frac{4}{3} \right)^{1/4} \left( \frac{4}{5} \; \frac{6}{5} \; \frac{6}{7} \; \frac{8}{7} \right)^{1/8} \cdots</math>
II. Guillera の積<ref> J. Sondow, A faster product for pi and a new integral for ln pi/2, ''Amer. Math. Monthly'' 112 (2005) 729-734.</ref><ref> J. Guillera and J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319 Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,]''Ramanujan Journal'' 16 (2008), 247-270.</ref>:
:<math>e=\prod_{n=1}^\infty\sqrt[n]{\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1} {n \choose k}} }=\left( \frac{2}{1} \right)^{1/1} \left( \frac{2^2}{1\cdot 3} \right)^{1/2} \left( \frac{2^3 \cdot 4}{1\cdot 3^3} \right)^{1/3} 
\left( \frac{2^4 \cdot 4^4}{1\cdot 3^6 \cdot 5} \right)^{1/4}\cdots ,</math>
ここに ''n'' 番目の因子は次の積 の ''n'' 乗根である。
:<math>\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1} {n \choose k}}</math>
III. 無限乗積:
:<math>e=\frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots}.</math>

== 数列の極限による表現 ==
ネイピア数 {{mvar|e}} はいくつかの[[無限数列]]の[[極限]]として表現できる。

I. [[スターリングの近似|スターリングの公式]]その1
:<math>e=\lim_{n\to \infty} n\cdot \left( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right)^{1/n}</math>
II. スターリングの公式その2
:<math>e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
III. 上述の ''e'' の基本的な極限による定義から得られる対称形の極限<ref>[[:en:Harlan J. Brothers|H. J. Brothers]] and J. A. Knox,  New closed-form approximations to the Logarithmic Constant e. ''The Mathematical Intelligencer'', Vol. 20, No. 4, 1998;  pages 25-29.</ref>  <ref>Khattri, Sanjay, ''From Lobatto Quadrature to the Euler constant e'',
https://2005euballoons.com/#skk/Publications/Lobatto/PRIMUS_KHATTRI.pdf </ref>
:<math>e=\lim_{n\to \infty} \left[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} -\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right]</math> 
IV. 別の極限による例<ref> S. M. Ruiz 1997</ref>
:<math>e=\lim_{n\to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}</math>
:ここで <math>p_n</math> は ''n'' 番目の[[素数]]、<math>p_n \#</math> は <math>p_n</math> の[[素数階乗]]
V. 極限による指数関数の一般形式
:<math>e^x =\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n</math>

== 脚注 ==
<div class="references-small">
<references />
</div>

{{DEFAULTSORT:ねいひあすうのひようけん}}

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