ノイベルグ三次曲線のソースを表示

[[ユークリッド幾何学]]において、'''ノイベルグ三次曲線'''（ノイベルクさんじきょくせん、{{lang-en-short|Neuberg cubic}}）とは[[三角形]]に対して一意に決まる曲線の一種である。[[ヨーゼフ・ジャン・バティスト・ノイベルグ|ヨーゼフ・ノイベルグ]]にちなんで名付けられた<ref name="K001">{{Cite web |title=K001 Neuberg cubic |url=https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k001.html |website=Cubics in the Triangle Plane |publisher=Bernard Gilbert |access-date=29 November 2021}}</ref><ref>{{Cite journal|date=1884|title=Mémoire sur le tétraèdre|url=https://docplayer.fr/154357100-.html|journal=Mémoires de l'Académie de Belgique|pages=1–70|accessdate=29 November 2021}}</ref>。'''21点3次曲線'''、あるいは'''37点3次曲線'''とも呼ばれる。Bernard Gibert の[[Catalogue of Triangle Cubics|Cubics in the triangle plane]]では K001 として登録されている<ref name="K001" />。

== 定義 ==
[[ファイル:NeubergCurve.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のノイベルグ三次曲線上の点をBC,CA,ABで鏡映した点をそれぞれA,B,Cと結ぶとその3直線は1点で交わる。]]
ノイベルグ三次曲線は様々な定義ができる。 その一つは{{Math|△''ABC''}}について、それぞれの辺で{{Mvar|P}}を鏡映した点を{{Math|''P''{{Sub|''a''}}, ''P''{{Sub|''b''}}, ''P''{{Sub|''c''}}}}で表したときに、{{Math|''AP''{{Sub|''a''}}, ''BP''{{Sub|''b''}}, ''CP''{{Sub|''c''}}}}が[[共点|一点で交わる]]ような{{Mvar|P}}の[[軌跡 (数学)|軌跡]]である。他には、 {{Math|△''BPC'', △''CPA'', △''APB''}} の[[外心]]を{{Math|''O''{{Sub|''a''}}, ''O''{{Sub|''b''}}, ''O''{{Sub|''c''}}}}とし、{{Math|''AO''{{Sub|''a''}}, ''BO''{{Sub|''b''}}, ''CO''{{Sub|''c''}}}}が一点で交わるような{{Mvar|P}}の軌跡とも定義される。しかし、このように定義された軌跡が本当に[[三次曲線]]であるかは自明ではない。

ノイベルグは以下の式を満たす点の軌跡を定義とした。

: <math>\begin{vmatrix}
1 & BC^2+AP^2 & BC^2\times AP^2 \\ 
1 & CA^2+BP^2 & CA^2\times BP^2\\
1 & AB^2+CP^2& AB^2\times CP^2
\end{vmatrix} = 0</math>

B. H. Brown は1925年の論文で、「Pとその等角共役点を通る直線が[[オイラー線]]と平行になる点Pの軌跡」と定義している<ref name="Brown">{{Cite journal|last=B H Brown|date=March 1925|title=The 21-point Cubic|url=https://www.jstor.org/stable/2299630|journal=The American Mathematical Monthly|volume=35|issue=3|pages=110–115|doi=10.1080/00029890.1925.11986425}}</ref>。

== 重心座標 ==
{{Math|△''ABC''}}の辺を {{Math|''a'', ''b'', ''c''}}とする。ノイベルグ三次曲線上の点は[[重心座標]] を {{Math|''x'' : ''y'' : ''z''}} として以下の等式を満たす。

: <math> \sum_{\text{cyclic}} [a^2(b^2+c^2)- (b^2-c^2)^2 -2a^4]x(c^2y^2 - b^2z^2)=0</math>

== ノイベルグ三次曲線上の有名な点 ==
[[ファイル:Neuberg_cubic_showing_21-point_special_points_on_it.png|サムネイル|ノイベルグ三次曲線上の21個の有名な点 ]]
古い文献では、ノイベルグ三次曲線は一般に21点三次曲線と呼ばれている。これはノイベルグ自身が以下の21個の点をこの曲線上に発見したことによる <ref name="Brown" />。

* 頂点 {{Math|''A'', ''B'', ''C''}}
* {{Mvar|A, B, C}}を対辺で鏡映した点{{Math|''A''{{Sub|''a''}}, ''B''{{Sub|''b''}}, ''C''{{Sub|''c''}}}}
* [[垂心]] {{Mvar|H}}
* [[外接円|外心]] {{Mvar|O}}
* それぞれ{{Mvar|AB}}, {{Mvar|AC}}の垂直二等分線と{{Mvar|AC}}, {{Mvar|AB}}の交点を{{Mvar|Q{{sub|bc}}}}, {{Mvar|Q{{sub|cb}}}}とし、直線{{Mvar|Q{{sub|bc}}}}{{Mvar|Q{{sub|cb}}}}でAを鏡映させた点''{{mvar|D{{sub|a}}}}'' (B,Cについても同様にして{{Math|''D''{{Sub|''a''}}, ''D''{{Sub|''b''}}, ''D''{{Sub|''c''}}}})。
* {{Math|△''ABC''}}の辺を一辺とする、正三角形の{{Math|''A'', ''B'', ''C''}}でない頂点{{Math|''A&#39;'', ''B&#39;'', ''C&#39;'', ''A&#39;&#39;'', ''B&#39;&#39;'', ''C&#39;&#39;''}}。
* 第一[[フェルマー点]]X(13)と第二フェルマー点X(14)
* 第一[[等力点]]X(15)と第二等力点X(16)

1925年の B. H. Brown の論文では、新たに16個の有名点がノイベルグ三次曲線上にあることが発見された（これが37点3次曲線と言われる所以である）<ref>{{Cite web |author=Bernard Gilbert |title=Table 19: points on the Neuberg cubic |url=http://bernard-gibert.fr/Tables/table19.html |website=Cubics in the Triangle Plane |publisher=Bernard Gilbert |access-date=1 December 2021}}</ref>。この16点のうち4つは、この三角形の[[三角形の内接円と傍接円|内心と傍心]]である<ref name="Brown" />。

その後、ノイベルグ三次曲線上に見つかった点には以下のようなものがある<ref name="K001" />。

* [[オイラー線#線上の特殊な点|オイラー無限遠点]]
* [[ジェラベク双曲線]]と[[外接円]]の第四交点X(74)
* 正三角形となる[[チェビアン#チェバ三角形|チェバ三角形]]と元の三角形の[[配景]]の中心X(370)
* [[パリー点#パリー鏡映点|パリー鏡映点]]X(399)
* [[フェルマー点#フェルマー点の特徴|ヴェルナウ点]]X(1337),X(1338)

== 性質 ==
* [[虚円点]]を通る3次曲線は「'''circular cubic'''」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線はcircular cubicである。
* 点Pとその等角共役点と、ある点Xが共点であるようなPの軌跡はXの「'''pivotal isogonal cubic'''」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線はオイラー無限遠点のpivotal isogonal cubicである。
* 三角形ABCと点PについてAPのPを通る垂線とBCの交点、BPのPを通る垂線とCAの交点、CPのPを通る垂線と、ABの交点は[[共線]]で、その線の[[三線極線|三線極]]をP*とする。P,P*,Xが共線であるようなPの軌跡はXの「'''pivotol orthocubic'''」または「'''orthopivotal cubic'''」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線は'''外心'''のorthopivotal cubic である<ref name="K001" />。

== 外部リンク ==
* {{Cite journal|last=Zvonko Čerin|date=1998|title=Locus properties of the Neuberg cubic|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01221237|journal=Journal of Geometry|volume=63|issue=1–2|pages=39–56|accessdate=30 November 2021|doi=10.1007/BF01221237}}
* {{Cite journal|last=T. W. Moore and J. H. Neelley|date=May 1925|title=The Circular Cubic on Twenty-One Points of a Triangle|url=https://www.jstor.org/stable/2299192|journal=The American Mathematical Monthly|volume=32|issue=5|pages=241–246|accessdate=2 December 2021|doi=10.1080/00029890.1925.11986451|JSTOR=2299192}}
* [https://www.researchgate.net/profile/Abdikadir-Altintas/publication/344429011_On_Some_Properties_Of_Neuberg_Cubic/links/5f745da6458515b7cf58f1f4/On-Some-Properties-Of-Neuberg-Cubic.pdf Abdikadir Altintas, ''On Some Properties Of Neuberg Cubic'']
* {{Cite web |author=Bernard Gilbert |title=Neuberg Cubics |url=https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/files/Resources/neubergs.pdf |website=Cubics in the Triangle Plane |access-date=2 December 2021}}

== 関連 ==
<references responsive="1"></references>
{{DEFAULTSORT:のいへるくさんしきよくせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:三次曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]