ノイマン級数のソースを表示

[[関数解析学]]において、'''ノイマン級数'''（ノイマンきゅうすう、{{lang-en-short|Neumann series}}）とは、[[無限級数]]によって定義される[[逆作用素]]。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。

== 定義 ==
''A'' を[[バナッハ空間]] ''X'' での[[有界作用素|有界]]な[[線形作用素]]とする（''A'' &isin; B(''X'')）。このとき、''A'' の[[作用素ノルム]] ||''A''|| が ||''A''|| < 1 を満たすならば、[[恒等作用素]] ''I'' との差で与えられる ''I − A'' は[[単射|1対1]]で (''I − A'')<sup>−1</sup> が有界作用素として存在するとともに、

:<math>
\begin{align}
(I-A)^{-1}
& = I+A+A^2+A^3+ \cdots \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}A^n
\end{align}
</math>

が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは

:<math>
\|(I-A)^{-1}\| \leq \frac{1}{1-\|A\|}
</math>

と評価される。

これは、|''x''| < 1 なる ''x'' &isin; '''C''' についての[[等比級数]]

:<math>
\frac{1}{1-x}=1+x + x^2 + x^3 + \cdots 
</math>

の作用素への拡張になっている。

特に ''z'' &isin; '''C''' と有界作用素 ''A'' について、|''z''| > ||''A''|| であれば、[[レゾルベント|レゾルベント作用素]] (''zI'' − ''A'')<sup>−1</sup> が存在し、

:<math>
(z I-A)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+1} } A^n 
</math>

および

:<math>
\|(z I-A)^{-1}\| \leq \frac{1}{|z|} \frac{1}{ 1-\frac{\|A\|}{|z|} }
</math>

が成り立つ。

== 逐次近似との関係 ==
バナッハ空間 ''X'' の元''u''、''v'' と線形作用素 ''A'' で与えられる方程式

:<math> u=Au+v \, </math>

を考える。ここで、''v'' は既知の変数とし、''u'' を未知の変数とする。この方程式は

:<math>(I-A)u=v \,</math>

と変形できることから、逆作用素 (''I'' − ''A'')<sup>−1</sup> が存在し、それが求まれば、問題は解ける。
一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、

:<math>
\begin{align}
u & = A(Au+v)+v \\
  & = A^2(Au+v)+Av+v \\
  &= v+ Av + \cdots + A^nv +A^{n+1}u
\end{align}
</math>

となる。従って、''A''<sup>''n''+1</sup>''u'' の項が無視できるとすると

:<math>u_n:=\sum_{i=0}^n A^i v</math>

で定義される ''u''<sub>''n''</sub> が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、''n'' → ∞ で逐次近似解 ''u''<sub>''n''</sub> が真の解となり、

:<math>u = (I-A)^{-1}v = v +Av + A^2v + \cdots</math>

となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解 ''u''<sub>''n''</sub> の誤差評価を行うこともでき、

:<math>
\|u-u_n\| \leq \sum_{i=n+1}^{\infty} \|A\|^i \cdot\|v\|
 = \frac{\|A\|^{n+1} }{1-\|A\|} \|v\|
</math>

である。

== 積分方程式への応用 ==
バナッハ空間 ''X'' を有限区間 [''a'', ''b''] 上の[[連続関数]]からなる関数空間 C([''a'', ''b'']) とし、
''K'' (''x'', ''y'') を [''a'', ''b''] × [''a'', ''b''] で定義された連続関数、''f''(''x'') を [''a'', ''b''] 上の連続関数（''f'' &isin; C([''a'', ''b''])）とする。このとき、C([''a'', ''b'']) において、フレドホルム型[[積分方程式]]

:<math>
u(x)- \lambda \int_a^b K(x,y)u(y){\,}dy =f(x)
</math>

を考える。ここで、

:<math>
Ku:= \int_a^b K(x,y)u(y){\,}dy
</math>

としたときに、|&lambda;|・||''K''|| < 1 の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解 ''u'' が一意的に存在し、ノイマン級数によって、

:<math>
\begin{align}
u &= (1- \lambda K)^{-1} f \\
&=f + \lambda K f + \lambda^2 K^2 f + \cdots \\
&= f(x) + \lambda \int_a^b K(x,y) f(y){\,}dy 
+ \lambda^2 \int_a^b \biggl ( \int_a^b K(x,y)K(z,y){\,}dz \biggr ) f(y){\,}dy  + \cdots
\end{align}
</math>

と表すことができる。

== 参考文献 ==
* [[藤田宏]]、[[伊藤清三]]、 [[黒田成俊]] 『関数解析 (岩波基礎数学選書)』岩波書店（1991）ISBN 978-4000078108
* 黒田成俊 『関数解析(共立数学講座 (15))』 共立出版（1980）ISBN 978-4320011069

== 関連項目 ==
* [[関数解析学]] - [[線形作用素]]
* [[反復法 (数値計算)]]

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