ハイゼンベルク群のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年10月}}
[[可換環]] {{mvar|A}} 上の'''ハイゼンベルク群''' ({{lang-en-short|Heisenberg group}}) とは、通常の[[行列の積]]に関して
:<math>
\begin{bmatrix}
 1 & b & c\\
 0 & 1 & a\\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>
の形をした行列がなす[[群 (数学)|群]]である。これは[[群の中心]]と[[交換子部分群]]が一致する[[アーベル群|非可換]]な[[冪零群]]であり、 {{math|''H''(''A'')}} などと表される。係数環 {{mvar|A}} としては実数体 {{math|'''R'''}}、整数環 {{math|'''Z'''}}、有限体 {{math|'''Z'''/''p'''''Z'''}} などを考えることが多い。

{{math|''H''('''R''')}} は3次元の[[単連結]]な[[リー群]]であり、任意の元は[[指数写像]]（[[行列の指数関数]]）を用いて
:<math>
\begin{bmatrix}
 1 & b & c + \tfrac{1}{2} ab\\
 0 & 1 & a\\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
= \exp
\begin{bmatrix}
 0 & b & c\\
 0 & 0 & a\\
 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>
と表すことができる。

{{math|''H''('''Z''')}} は {{math|''H''('''R''')}} の[[離散部分群]]であり、任意の元は
:<math>
x = \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\quad
y = \begin{bmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\quad
z = \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>
とおけば {{math|''x''{{sup|''a''}}''y''{{sup|''b''}}''z''{{sup|''c''}}}} と表せることがわかる。また {{math|''z'' {{=}} ''y''{{sup|&minus;1}}''x''{{sup|&minus;1}}''yx''}} が成り立つので {{math|''H''('''Z''')}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の2元から[[群の生成系|生成]]される。

{{math|''H''('''Z'''/''p'''''Z''')}} は[[一般線型群]] {{math|''GL''{{sub|3}}('''Z'''/''p'''''Z''')}} の[[シロー部分群|シロー {{mvar|p}} 部分群]]で、[[群の位数|位数]]は {{math|''p''{{sup|3}}}} である。{{mvar|p}} が奇素数のとき、すべての元 {{mvar|g}} は {{math|''g''{{sup|''p''}} {{=}} 1}} を満たす。

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:はいせんへるくくん}}
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[[Category:数学のエポニム]]