ハイゼンベルク群

テンプレート:出典の明記 可換環 テンプレート:Mvar 上のハイゼンベルク群 (テンプレート:Lang-en-short) とは、通常の行列の積に関して

$\left[\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& 1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

の形をした行列がなす群である。これは群の中心と交換子部分群が一致する非可換な冪零群であり、 テンプレート:Math などと表される。係数環 テンプレート:Mvar としては実数体 テンプレート:Math、整数環 テンプレート:Math、有限体 テンプレート:Math などを考えることが多い。

テンプレート:Math は3次元の単連結なリー群であり、任意の元は指数写像（行列の指数関数）を用いて

$\left[\begin{array}{ccc}1& b& c+\frac{1}{2}ab\\ 0& 1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\exp \left[\begin{array}{ccc}0& b& c\\ 0& 0& a\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

と表すことができる。

テンプレート:Math は テンプレート:Math の離散部分群であり、任意の元は

$x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right],y=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],z=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

とおけば テンプレート:Math と表せることがわかる。また テンプレート:Math が成り立つので テンプレート:Math は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の2元から生成される。

テンプレート:Math は一般線型群 テンプレート:Math の[[シロー部分群|シロー テンプレート:Mvar 部分群]]で、位数は テンプレート:Math である。テンプレート:Mvar が奇素数のとき、すべての元 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満たす。