ハイネの和公式のソースを表示

'''ハイネの和公式'''（ハイネのわこうしき、{{lang|-en-short|Heine's summation formula}}）はガウスの[[超幾何定理]]の [[q-類似|{{mvar|q}}-類似]]である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-HypergeometricFunction.html Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function]</ref>。ドイツの数学者[[エドゥアルト・ハイネ]]に因む。ハイネは19世紀中頃に[[超幾何級数]]の{{mvar|q}}-類似の研究を行った<ref name="Andrews1986_ch2">[[#Andrews1986|G. E. Andrews (1986), chapter 2]]</ref>。

==内容==
ガウスの超幾何級数
:<math>
_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n
</math>
に対し、その {{mvar|q}}-類似は
:<math>
_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n
</math>
で定義される。但し、[[ポッホハマー記号]]
:<math>
(a)_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)
</math>
と [[qポッホハマー記号|{{mvar|q}}-ポッホハマー記号]]
:<math>
(a;q)_{n}=  \begin{cases} (1-aq)(1-aq^2)\cdots (1-aq^{n-1})& (n>0)\\
 1 & (n = 0)\end{cases}
</math>
を用いた。
このとき、次の関係式をハイネの和公式と呼ぶ。
:<math>_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right]=\frac{\left(\frac{c}{a};q\right)_\infty\left(\frac{c}{b};q\right)_\infty}{\left(c;q\right)_\infty\left(\frac{c}{ab};q\right)_\infty} \qquad \biggl (\bigl |\frac{c}{ab}\bigr |<1 \biggr )</math>
これはガウスの超幾何定理
:<math>
_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};1\right]=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})
</math>
の {{mvar|q}}-類似となっている。

ハイネの和公式は、次の'''ハイネの変換式'''(Heine's transformation)から導くことができる。
:<math>_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right]</math>

== 証明 ==
ハイネの変換式は[[q二項定理]]から導かれる。
:<math>\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_\infty(cq^n;q)_\infty}{(q;q)_n(c;q)_\infty(bq^n;q)_\infty}z^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac{(cq^n;q)_\infty}{(bq^n;q)_\infty}\right)z^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}(bq^n)^m\right)z^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(zq^m)^n\right)b^m\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\frac{(azq^m;q)_\infty}{(zq^m;q)_\infty}\right)b^n\\
&=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m(z;q)_m(az;q)_\infty}{(q;q)_m(az;q)_m(z;q)_\infty}\\
&=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right]\\
\end{align}</math>
ハイネの和公式はハイネの変換式に<math>z=\tfrac{c}{ab}</math>を代入することにより得られる。
:<math>\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right]
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},\frac{c}{ab}\\\frac{c}{b}\end{matrix};q,b\right]\\
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_n(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n(\frac{c}{b};q)_n}b^n\right)\\
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n}b^n\right)\\
&=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty}{(b;q)_\infty}\right)\\
&=\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\\
\end{align}</math>

== 出典 ==
<references/>
== 参考文献 ==
=== 書籍 ===
*{{Cite book |
|title= q -Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics and Computer Algebra
|first1=George E.  
|last1=Andrews
|series=CBMS
|publisher=American Mathematical Society
|isbn= 978-0821807163
|year=1986
|ref=Andrews1986}}


{{DEFAULTSORT:はいねのわこうしき}}

[[Category:q-解析学]]
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]