ハイネの和公式

ハイネの和公式（ハイネのわこうしき、テンプレート:Lang）はガウスの超幾何定理の [[q-類似|テンプレート:Mvar-類似]]である^[1]。ドイツの数学者エドゥアルト・ハイネに因む。ハイネは19世紀中頃に超幾何級数のテンプレート:Mvar-類似の研究を行った^[2]。

内容

ガウスの超幾何級数

_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n} n!} z^{n}

に対し、そのテンプレート:Mvar-類似は

_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n} (b; q)_{n}}{(q; q)_{n} (c; q)_{n}} z^{n}

で定義される。但し、ポッホハマー記号

(a)_{n} = a (a + 1) \dots (a + n - 1)

と [[qポッホハマー記号|テンプレート:Mvar-ポッホハマー記号]]

(a; q)_{n} = {\begin{matrix} (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots (1 - a q^{n - 1}) & (n > 0) \\ 1 & (n = 0) \end{matrix}

を用いた。このとき、次の関係式をハイネの和公式と呼ぶ。

_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; q, \frac{c}{a b}] = \frac{{(\frac{c}{a}; q)}_{\infty} {(\frac{c}{b}; q)}_{\infty}}{{(c; q)}_{\infty} {(\frac{c}{a b}; q)}_{\infty}} (| \frac{c}{a b} | < 1)

これはガウスの超幾何定理

_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; 1] = \frac{Γ (c) Γ (c - a - b)}{Γ (c - a) Γ (c - b)} (ℜ a + ℜ b < ℜ c, c \in̸ ℤ ∖ ℕ)

のテンプレート:Mvar-類似となっている。

ハイネの和公式は、次のハイネの変換式(Heine's transformation)から導くことができる。

_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; q, z] = \frac{(b; q)_{\infty} (a z; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (z; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} \frac{c}{b}, z \\ a z \end{matrix}; q, b]

ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。

\begin{matrix} _{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; q, z] & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n} (b; q)_{n}}{(q; q)_{n} (c; q)_{n}} z^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n} (b; q)_{\infty} (c q^{n}; q)_{\infty}}{(q; q)_{n} (c; q)_{\infty} (b q^{n}; q)_{\infty}} z^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (\frac{(c q^{n}; q)_{\infty}}{(b q^{n}; q)_{\infty}}) z^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (\sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m}} (b q^{n})^{m}) z^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m}} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (z q^{m})^{n}) b^{m} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m}} (\frac{(a z q^{m}; q)_{\infty}}{(z q^{m}; q)_{\infty}}) b^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{b}; q)_{m} (z; q)_{m} (a z; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (a z; q)_{m} (z; q)_{\infty}} \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (a z; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (z; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} \frac{c}{b}, z \\ a z \end{matrix}; q, b] \end{matrix}

ハイネの和公式はハイネの変換式に $z = \frac{c}{a b}$ を代入することにより得られる。

\begin{matrix} _{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; q, \frac{c}{a b}] & = \frac{(b; q)_{\infty} (\frac{c}{b}; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (\frac{c}{a b}; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} \frac{c}{b}, \frac{c}{a b} \\ \frac{c}{b} \end{matrix}; q, b] \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (\frac{c}{b}; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (\frac{c}{a b}; q)_{\infty}} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{b}; q)_{n} (\frac{c}{a b}; q)_{n}}{(q; q)_{n} (\frac{c}{b}; q)_{n}} b^{n}) \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (\frac{c}{b}; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (\frac{c}{a b}; q)_{\infty}} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{a b}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} b^{n}) \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (\frac{c}{b}; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (\frac{c}{a b}; q)_{\infty}} (\frac{(\frac{c}{a}; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty}}) \\ = \frac{(\frac{c}{a}; q)_{\infty} (\frac{c}{b}; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (\frac{c}{a b}; q)_{\infty}} \end{matrix}