Q二項定理

_{1} F_{0} (a; z) = F (a, b, b; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n}}{(1)_{n}} z^{n} = (1 - z)^{- a} (| z | < 1)

で与えられる。これに倣い、q超幾何級数 $_{1} ϕ_{0}$ の和を与える公式

_{1} ϕ_{0} [\begin{matrix} a \\ - \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n} = \frac{(a z; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} (| q | < 1, | z | < 1)

をq二項定理と呼ぶ。ただし、 $(a)_{n}$ はポッホハマー記号、 $(a; q)_{n}$ はqポッホハマー記号である。

証明

右辺を $f (a, z; q)$ として関数方程式を導く。

\begin{matrix} (1 - z) f (a, z; q) & = (1 - z) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n} \\ = (1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n}) - z \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n} \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n} - z \frac{(a; q)_{n - 1}}{(q; q)_{n - 1}} z^{n - 1}) \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(a; q)_{n - 1}}{(q; q)_{n}} ((1 - a q^{n - 1}) z^{n} - (1 - q^{n}) z^{n}) \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(a; q)_{n - 1}}{(q; q)_{n}} ((1 - a q^{n - 1}) q^{n} z^{n} - a (1 - q^{n}) q^{n - 1} z^{n}) \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (q z)^{n} - a z \frac{(a; q)_{n - 1}}{(q; q)_{n - 1}} (q z)^{n - 1}) \\ = (1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (q z)^{n}) - a z \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (q z)^{n} \\ = (1 - a z) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (q z)^{n} \\ = (1 - a z) f (a, q z; q) \end{matrix}

これにより、左辺を得る。

\begin{matrix} f (a, z; q) & = \frac{1 - a z}{1 - z} f (a, q z; q) \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{(a z; q)_{n}}{(z; q)_{n}} f (a, q^{n} z; q) \\ = \frac{(a z; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} f (a, 0; q) \\ = \frac{(a z; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} \end{matrix}

左辺を $g (a, z; q)$ として関数方程式を導く。

\begin{matrix} (1 - z) g (a, z; q) & = (1 - z) \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a z q^{n}}{1 - z q^{n}} \\ = (1 - z) \frac{1 - a z}{1 - z} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - a z q^{n}}{1 - z q^{n}} \\ = (1 - a z) \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a q z q^{n}}{1 - q z q^{n}} \\ = (1 - a z) g (a, q z; q) \end{matrix}

$g (a, z; q)$ をテイラー級数に展開して $z^{n}$ の係数を比較すると

\begin{matrix} g (a, q z; q) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n} \\ (1 - z) \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n} = (1 - a z) \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (q z)^{n} \\ 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (c_{n} - c_{n - 1}) z^{n} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (c_{n} - a c_{n 1}) (q z)^{n} \\ c_{n} - c_{n - 1} = c_{n} q^{n} - a c_{n - 1} q^{n - 1} \\ c_{n} = \frac{1 - a q^{n - 1}}{1 - q^{n}} c_{n - 1} \end{matrix}

となり、 $c_{0} = 1$ であるから

c_{n} = \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}}

となる。これにより、右辺を得る。

g (a, z; q) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} z^{n}

コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である^[2]。

\sum_{n = 0}^{N} y^{n} q^{n (n + 1) / 2} {[\begin{matrix} N \\ n \end{matrix}]}_{q} = \prod_{k = 1}^{N} (1 + y q^{k}) (| q | < 1)

ただし、

{[\begin{matrix} N \\ n \end{matrix}]}_{q}

はq二項係数である。q二項定理に $a = q^{- N}, z = - q^{N + 1} y$ を代入すると

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(q^{- N}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- q^{N + 1} y)^{n} = \frac{(- q y; q)_{\infty}}{(- q^{N + 1} y; q)_{\infty}} = \prod_{k = 0}^{\infty} \frac{1 + y q^{1 + k}}{1 + y q^{N + 1 + k}}

となるが、左辺は $n > N$ で $(q^{- N}; q)_{n} = 0$ となり、右辺は $k \geq N$ の分子が $k - N$ の分母を打ち消す。従って、

\sum_{n = 0}^{N} \frac{(q^{- N}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- q^{N + 1} y)^{n} = \prod_{k = 0}^{N - 1} \frac{1 + y q^{1 + k}}{1 + y q^{N + 1 + k}} = \prod_{k = 1}^{N} (1 + y q^{k})

である。左辺はqポッホハマー記号の変換式 $(a q^{- n + 1}; q)_{n} = (- a)^{n} q^{- n (n - 1) / 2} {(a^{- 1}; q)}_{n}$ により、

\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(q^{- N}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- q^{N + 1} y)^{n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(q^{- N + n - 1} q^{- n + 1}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- 1)^{n} q^{n (N + 1)} y^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- q^{- N + n - 1})^{n} q^{- n (n - 1) / 2} (q^{N - n + 1}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- 1)^{n} q^{n (N + 1)} y^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} q^{- n (N + 1)} q^{n (n + 1) / 2} (q^{N - n + 1}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- 1)^{n} q^{n (N + 1)} y^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{y^{n} q^{n (n + 1) / 2} (q^{N - n + 1}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{y^{n} q^{n (n + 1) / 2} (q; q)_{N}}{(q; q)_{N - n} (q; q)_{n}} \\ = \sum_{n = 0}^{N} y^{n} q^{n (n + 1) / 2} {[\begin{matrix} N \\ n \end{matrix}]}_{q} \end{matrix}

となる。