Qポッホハマー記号

テンプレート:小文字数学において、qポッホハマー記号(テンプレート:Lang-en-short)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である^[1]^[2]^[3]。

\begin{matrix} (a; q)_{\infty} : = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k}) \\ (a; q)_{n} : = \frac{(a; q)_{\infty}}{(a q^{n}; q)_{\infty}} \end{matrix}

$| q | < 1$ の仮定が普通であり、実用上、 $n$ は整数であることが多い。 $n$ が整数である場合は

(a; q)_{n} = {\begin{matrix} \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{k}) & n > 0 \\ 1 & n = 0 \\ \prod_{k = n}^{- 1} \frac{1}{(1 - a q^{k})} & n < 0 \end{matrix}

となる。 $m, n$ が整数であり、 $a = q^{- m}$ であるとき、 $0 \leq m < n$ であれば $(q^{- m}; q)_{n} = 0$ であり、 $n \leq m < 0$ であれば $(q^{- m}; q)_{n}$ である。

更なる略記

基底 (テンプレート:En) が文字 $q$ である場合は省略することがある。

\begin{matrix} (a)_{n} = (a; q)_{n} \\ (q)_{n} = (q; q)_{n} \end{matrix}

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

\begin{matrix} (a, b, c)_{n} = (a, b, c; q)_{n} : = (a; q)_{n} (b; q)_{n} (c; q)_{n} \end{matrix}

以下の変換式が成立する。

\begin{matrix} (a q^{- n + 1}; q)_{n} & = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{- n + 1 + k}) \\ = (- a)^{n} q^{- n (n - 1) / 2} \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{q^{n - 1 - k}}{a}) \\ = (- a)^{n} q^{- n (n - 1) / 2} \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{q^{k}}{a}) (n - 1 - k \mapsto n) \\ = (- a)^{n} q^{- n (n - 1) / 2} {(\frac{1}{a}; q)}_{n} \end{matrix}

qブラケット (テンプレート:Lang-en-short) は整数、実数、複素数などのq-類似を表す記号である^[4]。

[n] = [n]_{q} : = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \sum_{k = 0}^{n - 1} q^{k} .

q階乗 (テンプレート:Lang-en-short) は階乗のq-類似である^[3]^[5]。（分母は普通の冪乗であることを為念）

[n]_{q}! : = \prod_{k = 1}^{n} [k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1 - q)^{n}} .

q二項係数 (テンプレート:Lang-en-short) は二項係数のq-類似である^[3]^[6]。

{[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} : = \frac{[n]_{q}!}{[n - k]_{q}! [k]_{q}!} = \frac{(q; q)_{n}}{(q; q)_{n - k} (q; q)_{k}} .

↑ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
↑ Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
↑ Wolfram Mathworld: q-Bracket
↑ Wolfram Mathworld: q-Factorial
↑ Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient