ハウスホルダー作用素のソースを表示

[[線型代数]]に於いて'''ハウスホルダー作用素'''は以下の様に定義される．<math>V</math>を有限次元の[[内積空間]]として，内積を<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>で表し，<math>u\in V</math>を[[単位ベクトル]]とする．このとき<math>H_u\colon V\to V</math>は，
:<math>H_u(x)=x-2\langle x,u\rangle u</math>
で定義される．この作用素はベクトル<math>x</math>を<math>u</math>を[[法線ベクトル]]に持つ平面に関して鏡映させる．零ベクトルでない<math>q\in V</math>について，以下の様にハウスホルダー作用素の式に於いて直接正規化することも一般的である．
:<math>H_q(x)=x-2\frac{\langle x,q\rangle}{\langle q,q\rangle}q.</math>

== 性質 ==
ハウスホルダー作用素は以下の性質を満たす．
*線型性を持つ．即ち，<math>V</math>を<math>K</math>上の線型空間として，
:<math>\forall (\lambda,\mu)\in K^2,\ \forall (x,y)\in V^2,\ H_q(\lambda x+\mu y)=\lambda H_q(x)+\mu H_q(y).</math>
*自己随伴（[[エルミート作用素]]を参照）である．
*特に<math>K=\mathbb R</math>のとき[[直交変換]]であり，<math>K=\mathbb C</math>のとき[[ユニタリ変換]]である．

== 特別な場合 ==
実数または複素数上の線型空間については，ハウスホルダー作用素は[[ハウスホルダー変換]]と言われる．

== 参考文献 ==
*{{Citation | last=Roman | first=Stephen | title=Advanced Linear Algebra | edition=Third | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher  = Springer | date=2008| pages= | isbn=978-0-387-72828-5 |author-link=Steven Roman}}

*{{Citation | last=Olver | first=Peter J. | | last2=Shakiban | first2=Chehrzad | title=Advanced Linear Algebra | edition=Second | series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] | publisher  = Springer | date=2018| pages= | isbn=978-3-319-91040-6 |author-link=Peter J. Olver}}
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[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
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