ハウスホルダー作用素

線型代数に於いてハウスホルダー作用素は以下の様に定義される．$V$を有限次元の内積空間として，内積を$⟨\cdot ,\cdot ⟩$で表し，$u\in V$を単位ベクトルとする．このとき$H_u:V\to V$は，

$H_u(x)=x-2⟨x,u⟩u$

で定義される．この作用素はベクトル$x$を$u$を法線ベクトルに持つ平面に関して鏡映させる．零ベクトルでない$q\in V$について，以下の様にハウスホルダー作用素の式に於いて直接正規化することも一般的である．

$H_q(x)=x-2\frac{⟨x,q⟩}{⟨q,q⟩}q.$

性質

ハウスホルダー作用素は以下の性質を満たす．

• 線型性を持つ．即ち，$V$を$K$上の線型空間として，

$\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in K^2,\mathrm{\forall }(x,y)\in V^2,H_q(\lambda x+\mu y)=\lambda H_q(x)+\mu H_q(y).$

• 自己随伴（エルミート作用素を参照）である．
• 特に$K=ℝ$のとき直交変換であり，$K=ℂ$のときユニタリ変換である．

特別な場合

実数または複素数上の線型空間については，ハウスホルダー作用素はハウスホルダー変換と言われる．

参考文献

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